URGENTE! eq. diff.
abbiamo la seguente equazione differenziale:
$y''+4y'+5y=t^2e^(-2t)sint
la soluzione dell'omogenea vale:
$y(t)=c_1e^(-2t)cost+c_2e^(-2t)sint
quanto vale l'equazione particolare?
ovvero va bene una soluzione del tipo
$y(t)=t^2((a+bt)e^(-2t)cost+(c+dt)e^(-2t)sint)
?
$y''+4y'+5y=t^2e^(-2t)sint
la soluzione dell'omogenea vale:
$y(t)=c_1e^(-2t)cost+c_2e^(-2t)sint
quanto vale l'equazione particolare?
ovvero va bene una soluzione del tipo
$y(t)=t^2((a+bt)e^(-2t)cost+(c+dt)e^(-2t)sint)
?
Risposte
la soluzione dell'omogenea è $y(t)=c_1e^(-2t)cost+c_2e^(-2t)sint$ adesso considero $c_1$ e $c_2$ non come costanti ma come funzioni di t $c_1:=c_1(t)$ e $c_2:=c_2(t)$.Derivo $y(t)$ allora $y(t)'=c_1'e^-2tcost
c_1(e^-2tcost)'+c_2'e^-2tsint+c_2(e^-2tsint)'=c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint+c_1[-2e^-2tcost-e^-2t]+c_2[-2e^-2tsint+e^-2tcost]$.Pongo $c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint=0$.
Derivo $y(t)'$ allora $y(t)''=c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_1[3e^-2tcost+4e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]+c_2[3e^-2tsint-4e^-2tcost]$.
sostituendo nell'equazione originale si ha:
$y(t)''+4y(t)'+5y(t)=c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_1[3e^-2tcost+4e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]+c_2[3e^-2tsint-4e^-2tcost]+4[
c_1(-2e^-2tcost-e^-2t)+c_2(-2e^-2tsint+e^-2tcost)]+5[c_1e^(-2t)cost+c_2e^(-2t)sint]=t^2e^-2tsint$
Allora facendo i conti viene che
1) $c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]=t^2e^-2tsint$
e siccome $c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint=0$ allora $c_1'=-tan(t)c_2'$
sostituendo in 1) si ha che $c_2'=t^2sintcost$ allora $c_1'=-t^2sintsint=-t^2(1-cos2t)/2$ si risolvono gli integrali per trovare &c_1$ e $c_2$ e si sostituiscono nell'omogenea così si ottiene la soluzione particolare.
(questo metodo è detto metodo delle variazioni delle costanti)
c_1(e^-2tcost)'+c_2'e^-2tsint+c_2(e^-2tsint)'=c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint+c_1[-2e^-2tcost-e^-2t]+c_2[-2e^-2tsint+e^-2tcost]$.Pongo $c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint=0$.
Derivo $y(t)'$ allora $y(t)''=c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_1[3e^-2tcost+4e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]+c_2[3e^-2tsint-4e^-2tcost]$.
sostituendo nell'equazione originale si ha:
$y(t)''+4y(t)'+5y(t)=c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_1[3e^-2tcost+4e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]+c_2[3e^-2tsint-4e^-2tcost]+4[
c_1(-2e^-2tcost-e^-2t)+c_2(-2e^-2tsint+e^-2tcost)]+5[c_1e^(-2t)cost+c_2e^(-2t)sint]=t^2e^-2tsint$
Allora facendo i conti viene che
1) $c_1'[-2e^-2tcost-e^-2tsint]+c_2'[-2e^-2tsint+e^-2tcost]=t^2e^-2tsint$
e siccome $c_1'e^-2tcost+c_2'e^-2tsint=0$ allora $c_1'=-tan(t)c_2'$
sostituendo in 1) si ha che $c_2'=t^2sintcost$ allora $c_1'=-t^2sintsint=-t^2(1-cos2t)/2$ si risolvono gli integrali per trovare &c_1$ e $c_2$ e si sostituiscono nell'omogenea così si ottiene la soluzione particolare.
(questo metodo è detto metodo delle variazioni delle costanti)
scusa ho sbagliato a scrivere quando vedi $e^-2tcost$ o $e^-2tsint$ in realtà intendo $e^(-2t)cost$ e $e^(-2t)sint$, scusa ma mi sono dimenticata le parentesi
scusa ho sbagliato a scrivere quando vedi $e^-2tcost$ o $e^-2tsint$ in realtà intendo $e^(-2t)cost$ e $e^(-2t)sint$, scusa ma mi sono dimenticata le parentesi
grazie clabj ci sto lavorando.-
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