Urgente: domani esame di analisi 2 - serie e convergenza
Ciao a tutti, riguardando gli esercizi in preparazione dell'esame mi sono accorto di non saper risolvere questo problema:
Data la seguente funzione: $f(x)=\int_0^x \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$, che secondo quanto ho calcolato dovrebbe avere dominio $[0, +\infty)$ (includo lo $0$ perchè il limite dell'integranda per $t \rightarrow 0$ è convergente a $0$) devo considerare la serie numerica $\sum_{n=1}^\inftyf(\frac{1}{n})$ e dimostrare che converge.
A questo punto, dovrei calcolare il $lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{\frac{1}{n}} \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$ che mi verrebbe $0$, ora però come andare avanti?
Grazie mille!
Data la seguente funzione: $f(x)=\int_0^x \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$, che secondo quanto ho calcolato dovrebbe avere dominio $[0, +\infty)$ (includo lo $0$ perchè il limite dell'integranda per $t \rightarrow 0$ è convergente a $0$) devo considerare la serie numerica $\sum_{n=1}^\inftyf(\frac{1}{n})$ e dimostrare che converge.
A questo punto, dovrei calcolare il $lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{\frac{1}{n}} \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$ che mi verrebbe $0$, ora però come andare avanti?
Grazie mille!
Risposte
"Raphael":
Ciao a tutti, riguardando gli esercizi in preparazione dell'esame mi sono accorto di non saper risolvere questo problema:
Data la seguente funzione: $f(x)=\int_0^x \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$, che secondo quanto ho calcolato dovrebbe avere dominio $[0, +\infty)$ (includo lo $0$ perchè il limite dell'integranda per $t \rightarrow 0$ è convergente a $0$) devo considerare la serie numerica $\sum_{n=1}^\inftyf(\frac{1}{n})$ e dimostrare che converge.
A questo punto, dovrei calcolare il $lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{\frac{1}{n}} \frac{e^t-1}{\sqrt{t(t-1)}}dt$ che mi verrebbe $0$, ora però come andare avanti?
Grazie mille!
???
L'integranda non e' definita in [0,1]. Pertanto, il dominio della funzione integrale e' un sottoinsieme di $]-oo,0].
Visto quello che dici, verifica il testo della domanda. Non e' che ti sei dimenticato di valori assoluti, magari?
non riesco a capire come si possa concludere che il dominio dela funzione integrale è questo qui!
chiedo scusa.. mi sono accorto che ho sbagliato un segno nel copiare l'esercizio...
al denomitore non c'è $t-1$ ma $t+1$!
al denomitore non c'è $t-1$ ma $t+1$!
Se
$f(x)=\int_0^x\frac{e^t-1}{\sqrt{t(t+1)}}dt$
allora $f(0)=0$ e
$f'(x)=\frac{e^x-1}{\sqrt{x(x+1)}}= \sqrt{x}+o(\sqrt{x})$
da cui $f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+o(x^{3/2})$ che implica
$f(1/n)=\frac{2}{3}1/n^{3/2}+o(1/n^{3/2})$ da cui la serie
$\sum f(1/n)$ è asintotica a $\sum 1/n^{3/2}<+\infty$.
Se non vuoi usare gli o piccoli puoi provare (Hospital) che
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{3/2}}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{3/2 x^{1/2}}=\frac{2}{3}$
e poi fare il confronto detto sopra
$f(x)=\int_0^x\frac{e^t-1}{\sqrt{t(t+1)}}dt$
allora $f(0)=0$ e
$f'(x)=\frac{e^x-1}{\sqrt{x(x+1)}}= \sqrt{x}+o(\sqrt{x})$
da cui $f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+o(x^{3/2})$ che implica
$f(1/n)=\frac{2}{3}1/n^{3/2}+o(1/n^{3/2})$ da cui la serie
$\sum f(1/n)$ è asintotica a $\sum 1/n^{3/2}<+\infty$.
Se non vuoi usare gli o piccoli puoi provare (Hospital) che
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{3/2}}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{3/2 x^{1/2}}=\frac{2}{3}$
e poi fare il confronto detto sopra
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