Urgente aiuto per un integrale!!! esame imminente!

[falconi]

Ciao a tutti! scusate ma ho urgente bisogno di risolvere questo integrale, sto impazzendo!

$ int_(0)^(2) 2log(4+x^2) dx $

grazie!

[qasw1]

Hai provato per parti?
$int_0^2 2 log(4+x^2) dx = 2x log(4+x^2)|_0^2 - int_0^2 2x (2x)/(4+x^2) dx$
Dovrebbe funzionare.

[falconi]

grazie, avevo provato ma purtroppo non mi torna il risultato

Il risultato deve essere 8 log 2 + 2 (π - 4 + 2log2)

[qasw1]

Scusami: nel post precedente avevo messo un $+$ al posto di un $-$. Ora ho corretto.
Comunque integrando per parti mi viene il risultato che hai scritto. Prova a rifare i conti.

[falconi]

posso chiederti la gentilezza di scrivere il procedimento? L'ho rifatto mille miliardi di volte e non trovo alcun errore di conto!! Sarò svampita ma non ne vengo fuori :'-(

[qasw1]

$int_0^2 2 log(4+x^2) dx = 2 x log(4+x^2)|_0^2-int_0^2 2x (2x)/(4+x^2) dx = 4 log8 - int_0^2 (4x^2)/(4+x^2) dx$
Ora calcolo il secondo integrale:
$int_0^2 (4x^2)/(4+x^2) dx = int_0^2 (4x^2+16-16)/(4+x^2) dx = int_0^2 (4x^2+16)/(4+x^2) dx - int_0^2 16/(4+x^2) dx =$
$= int_0^2 (4(4+x^2))/(4+x^2) dx - 16 int_0^2 1/(4+x^2) dx = int_0^2 4 dx - 16 int_0^2 1/(4(1+(x/2)^2)) dx =$
$= 8 - 8 int_0^2 1/2 1/(1+(x/2)^2) dx = 8 - 8 [arctan(x/2)]_0^2 = 8 - 8 arctan(1) = 8 - 8 pi/4 = 8 - 2 pi$

Ora torniamo all'integrale di partenza:
$int_0^2 2 log(4+x^2) dx = 4 log8 - int_0^2 (4x^2)/(4+x^2) dx = 4 log 8 - 8 + 2 pi$

Finito. Per vedere che è lo stesso risultato che hai scritto, considera che:
$4 log 8 - 8 + 2 pi = 4 cdot 3 log 2 + 2 pi - 8 = 12 log 2 + 2 pi - 8 = 8 log 2 + 2 pi - 8 + 4 log 2 =$
$= 8 log 2 + 2 (pi - 4 + 2 log 2)$

[falconi]

miticissimo grazie! Era lo smembramento del risultato che non mi era venuto in mente di provare!!!!