Uno spazio normato senza la proprietà di Baire

[dissonance]

Uno spazio topologico si dice di Baire sse l'unione numerabile di chiusi a interno vuoto è un insieme con l'interno vuoto.
[size=75]Varie definizioni equivalenti:
-) l'intersezione numerabile di aperti densi è densa;
-) l'unione numerabile di $F_sigma$ a interno vuoto è un $F_sigma$ a interno vuoto;
-) l'intersezione numerabile di $G_delta$ densi è un $G_delta$ denso.[/size]

Il teorema di Baire ci assicura che gli spazi metrici completi, gli Hausdorff compatti e mi pare anche gli Hausdorff localmente compatti sono tutti di Baire. Ma ci sono spazi non di Baire come ad esempio $QQ$. Vabbé.
[/list:u:2w1une7p]____________________________________

Vorrei capire meglio come influisca questa proprietà negli spazi di Banach. Vedo che è parecchio utile perché ci permette di dimostrare molti teoremi importanti, come il teorema della mappa aperta e quello di Banach-Steinhaus.

Ma che succede quando la proprietà di Baire non c'è? Vorrei fabbricare degli esempi.

Quindi vorrei prendere degli spazi non di Banach e trovare successioni di chiusi a interno vuoto con l'unione non a interno vuoto (o successioni di aperti densi con l'intersezione non densa).

E' fattibile? Come posso fare? Non so nemmeno da dove incominciare a dire la verità.

[holmes1]

Uno spazio topologico (non di banach) che è unione di chiusi ad interno vuoto potrebbe essere il seguente:

Mettiamo su R la seguente topologia: (-infinito, a) => R=unione di [a,+infinito), a in Z, tutti chiusi ad interno vuoto.
Solo non so se la topologia considerata è tale, mi pare di si.

Consiglio: non ti affannare a fare cose inutili!

[dissonance]

Guarda chi si rivede, questo vecchio pippone sugli spazi di Baire! In effetti, per come lo misi io qui è proprio una cosa "inutile"... Meglio esibire dei controesempi a qualche conseguenza della proprietà di Baire, come il teorema della mappa aperta o del grafico chiuso. E' più facile e anche più istruttivo.

Comunque non capisco come funziona la tua topologia. Non mi sembra proprio che sia normabile. Magari prova a usare la sintassi per le formule come spiegato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

Diventa tutto molto più leggibile.

[holmes1]

Sono nuovo veramente, spero di nn averti offeso con il mio consiglio...non era mia intenzione!
lo buttata li cosi veramente ora provo a scrivere meglio..
per come sono definiti gli aperti la loro unione è un aperto e la loro intersezione finita pure , naturalmente il vuoto e R non danno problemi.
ora i chiusi sono i complementari degli aperti, noto che sono tutti ad interno vuoto, perche nessun chiuso contiene alcun aperto,
tuttavia l'unione considerata è R che ha interno non vuoto.

Poi vorrei sapere se ti sei fatto qualche idea su come strutturare i controesempi, l'argomento non è sciocco non intendevo questo!

saluti

[rubik2]

Allora Dissonance io la butto là vedi te se torna: come hai detto te $QQ$ non è di Baire e se prendi un singoletto contenuto in $QQ$ questo è chiuso ed ha parte interna vuota ma $QQ$ stesso che è unione (numerabile) dei suoi singoletti ha parte interna non vuota. la norma ovviamente è il modulo, dovrebbe funzionare ma è venerdì e non sono responsabile delle mie azioni

continuo a pensarci su, cerco qualche esempio su spazi di funzioni ma non garantisco

ciao

[dissonance]

@ rubik: In effetti potrebbe funzionare... Ma è un terreno minatissimo, meglio fare qualche controllo prima di sbilanciarsi.
@ holmes: Questo è un esempio di spazio topologico non di Baire, e in quanto tale va benissimo. Io però volevo cercare qualche esempio di spazio normato non di Baire per capire che cosa significassero queste due cose insieme.

Un esempio che (successivamente al mio post iniziale) ho incontrato in un corso all'università:
chiamiamo $P$ lo spazio vettoriale dei polinomi reali, normato con la $||a_0+a_1x+...+a_nx^n||="max"{|a_0|, ..., |a_n|}$. Questo spazio non è di Baire perché fallisce il principio dell'uniforme limitatezza(*): infatti la successione
$f_k(a_0+a_1x+...+a_nx^n)=a_0+a_1+...+a_k$ è composta da forme lineari continue, è puntualmente limitata e però risulta non essere limitata in norma.

Potrebbe essere una cosa interessante verificare direttamente sulla topologia che $P$ non è uno spazio di Baire. Sempre che non sia troppo complicato, naturalmente.

_____________________________
(*) Mi riferisco al risultato secondo cui una famiglia di operatori continui puntualmente limitati è anche limitata in norma. Questo è vero negli spazi normati di Baire.

[holmes1]

Si chiedo mille scusa ma non avevo letto con la dovuta attenzione il tema, una volta mi capitò di parlare di un argomento simile con un professore, mi disse che dovevo partire proprio da considerazioni sulla topologia, ci rifletterò su, vediamo se ho capito però, tu vorresti provare, con un esempio, che l'essere uno spazio di seconda categoria non è necessario per verificare la tesi del teorema di unif limitatezza....una cosa del genere, spazi vettoriali non di baire magari metrizzabili verificanti la tesi di unif. limitatezza???

[rubik2]

"rubik":Allora Dissonance io la butto là vedi te se torna: come hai detto te $QQ$ non è di Baire e se prendi un singoletto contenuto in $QQ$ questo è chiuso ed ha parte interna vuota ma $QQ$ stesso che è unione (numerabile) dei suoi singoletti ha parte interna non vuota. la norma ovviamente è il modulo, dovrebbe funzionare ma è venerdì e non sono responsabile delle mie azioni

continuo a pensarci su, cerco qualche esempio su spazi di funzioni ma non garantisco

ciao

manca un fatto fondamentale $QQ$ non è un $RR$-spazio vettoriale. domani vedrò di pensare al tuo esempio. ciao

[ViciousGoblin]

"dissonance":
Un esempio che (successivamente al mio post iniziale) ho incontrato in un corso all'università:
chiamiamo $P$ lo spazio vettoriale dei polinomi reali, normato con la $||a_0+a_1x+...+a_nx^n||="max"{|a_0|, ..., |a_n|}$. Questo spazio non è di Baire perché fallisce il principio dell'uniforme limitatezza(*): infatti la successione
$f_k(a_0+a_1x+...+a_nx^n)=a_0+a_1+...+a_n$ è composta da forme lineari continue, è puntualmente limitata e però risulta non essere limitata in norma.

Potrebbe essere una cosa interessante verificare direttamente sulla topologia che $P$ non è uno spazio di Baire. Sempre che non sia troppo complicato, naturalmente.

Credo che tu intendessi $f_k(a_0+a_1x+...+a_nx^n)=a_0+a_1+...+a_k$ ( dove $a_j=0$ se $j\geq n$).

Per quanto riguarda il tuo problema (che se ho ben capito consiste nel vedere direttamente che $P$ non e' di Baire)
mi pare che si possa prendere

$A_n={"polinomi di grado "\leq n}$

Se non sbaglio ogni $A_n$ ha parte interna vuota, mentre $P=\bigcup_n A_n$

[rubik2]

mi pare che l'intervento di ViciousGoblin risolva, faccio due conti: sia $p(x)=a_n*x^n+...+a_0 in A_n$ (qualche coefficiente potrebbe essere nullo) prendiamo un intorno $B={q(x) " t.c. " |q-p|
definisco $q(x)=a_0+delta+(a_1+delta)*x+...+(a_n+delta)*x^n+delta*x^(n+1)+...+delta*x^m$ allora $|q-p|=delta$ se prendo $delta

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[dissonance]

[L'espressione corretta delle $f_k$ è chiaramente quella indicata da V.G. - ho corretto.]

Scusate il ritardo...
Dunque, si, il fatto che la parte interna di $A_n$ sia vuota mi convince. In pratica voi dite: se prendiamo un polinomio di grado $n$, possiamo sempre "spalmare" i coefficienti su polinomi di grado più alto e quindi ci possiamo scordare un intorno contenente solo polinomi di grado basso. Giusto.

Ci sarebbe da dimostrare che gli $A_n$ sono chiusi però, o mi sbaglio?

[gugo82]

Ogni $A_N$ è chiuso in $(RR[X],||\cdot||_oo)$.

Dim.: Prendiamo $(p^n) \subseteq A_N$ convergente in norma a $p$.
Detti $a_0^n, \ldots ,a_N^n$ i coefficienti di $p_n$ e $a_0,\ldots ,a_M $ i coefficienti di $p$ (N.B.: i coefficienti di $p$ sono ordinati al solito modo e supponiamo che il grado di $p$ sia $M>N$), dobbiamo dimostrare che $AA N Fissato $epsilon >0$, abbiamo per $n>=nu$:

$||p_n-p||_oo=max\{ |a_0^n-a_0|,\ldots ,|a_N^n-a_N| , |a_(N+1)|, \ldots ,|a_M| \}
e quindi in particolare è:

$AA N
e tale maggiorazione sussite indipendentemente da $n$; dall'arbitrarietà nella scelta di $epsilon$ in $]0,+oo[$ segue $|a_(N+1)|,\ldots ,|a_M|=0$, come volevamo.

[holmes1]

La singola Fk sull'insieme dei polinomi a coeff reali di grado qualunque non mi torna lineare...mi potreste precisare la definizione delle Fk...grazie


Saluti!

[ViciousGoblin]

"holmes":La singola Fk sull'insieme dei polinomi a coeff reali di grado qualunque non mi torna lineare...mi potreste precisare la definizione delle Fk...grazie


Saluti!

La somma dei primi $k$ coefficienti del polinomio (ordinati per ordine crescente di grado)

[holmes1]

si .....allora torna tutto il conto e sono daccordo con quello che dite, grazie a VG per il chiarimento.
ora come si legge questo controesempio in riferimento al problema iniziale?
poi mi chiedevo: dato uno spazio metrico X : "X è completo se e solo se è di seconda categoria" : esistono controesempi?




saluti

[dissonance]

Si, esistono. Ad esempio $RR-QQ$ è uno spazio metrico e inoltre è spazio di Baire (quello che tu chiami di seconda categoria) come si può dimostrare. Ma non è uno spazio metrico completo.

[holmes1]

Giusto, se si aggiungesse l'ipotesi che X debba essere uno spazio vettoriale?

X spazio vettoriale metrico (su R): X è completo se e solo se è di baire

E' argomento rognoso, perchè in genere la completezza e la topologia non sono collegati...."la completezza non è una proprietà topologica.....",
e questa doppia implicazione si dovrebbe basare proprio sull'essere uno spazio vettoriale, facendo riferimento a spazi metrici, (-p,p) e R sono spazi metrici di baire omeomorfi ma uno è completo e l'altro no...e R è spazio vettoriale, diciamo che c'ho il dubbio!

Comunque in rapporto al problema iniziale, l'essere uno spazio di Baire è condizione di suffic. per la tesi del teo di uniforme limitatezza, ora faccio riferimento alla dimostrazione che ho visto sul Brezis, lo spazio di partenza è di baire => esiste un aperto su cui i Ti sono uniformemente limitati...(detto in breve), ora mi chiedo se è necessario...........spazi vettoriali non di baire verificanti l'uniforme limitatezza, solo che mi pare molto difficile fornire esempi di questo tipo, almeno io non so dove iniziare.
Perchè uno dovrebbe trovare uno spazio non di baire, come fatto da voi, però trovare il modo di dire che tutte le famiglie di forme lineari puntualmente limitate .....sono uniformemente limitate in norma!
Spero di non aver scritto troppe fesserie ma sono le 2:30 am!

Saluti

[dissonance]

Sono sicuro che esistono controesempi anche qui. Sto frequentando un corso di Analisi Funzionale, durante il quale il professore ha fornito la seguente classificazione:

Def. Sia $(E, ||*||)$ uno spazio normato. $E$ si dice spazio tonnelè se ogni seminorma semicontinua inferiormente è continua.
Sussiste questa catena di inclusioni:
${"Spazi di Banach"}\subset{"Spazi normati di Baire"}\subset{"Spazi tonnelé"}$
e si può dimostrare che le inclusioni sono strette.

Forse è più semplice trovare un esempio di spazio tonnelé e non di Banach, piuttosto che di Baire e non di Banach.

[holmes1]

Mi mancava questa, quindi esistono spazi vettoriali metrici di baire non completi, senti mi sai dire su che testi posso trovare questo argomento di cui parli?
..................tu


Saluti