Unità di misura nel cambio di variabili d'integrazione
Buonasera a tutti,
vi chiederei di chiarirmi un dubbio probabilmente un po' banale. Consideriamo l'integrale triplo $ int_(A) f(x,y,z) dxdydz $ con $ A sub mathbb(R) ^ 3 $ e ipotizziamo che per calcolarlo convenga passare alle coordinate sferiche. Per fare ciò ho bisogno di calcolare il determinante della matrice Jacobiana $ |J| $, relativa alla trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche, quindi l'integrale potrebbe essere riscritto come $ int_(S) f(r,\theta,\phi) |J| drd\thetad\phi = int_(S) f(r,\theta,\phi) r ^ 2 sin(\theta) drd\thetad\phi $. Ipotizziamo di assegnare l'unità di misura di lunghezza $ [m] $ agli assi cartesiani e che quindi $ dxdydz $ abbia come unità di misura $ [m^3] $. Per quanto riguarda $ |J| $ credo che si possa ragionare così (uso le parentesi quadre per indicare le unità di misura):
$ | ( (partial x)/(partial r) , (partial x)/(partial \theta) , (partial x)/(partial \phi) ),( (partial y)/(partial r) , (partial y)/(partial \theta) , (partial y)/(partial \phi) ),( (partial z)/(partial r) , (partial z)/(partial \theta) , (partial z)/(partial \phi) ) | = [m/m]([m/(rad)][m/(rad)]-[m/(rad)][m/(rad)])-[m/(rad)]([m/m][m/(rad)]-[m/(rad)][m/m]) + [m/(rad)]([m/m][m/(rad)]-[m/(rad)][m/m]) = [m^2/(rad^2)] = [m^2/(sr)] $
dove con $ [sr] $ indico lo steradiante. Tornando a considerare $ r ^ 2 sin(\theta) drd\thetad\phi $, mi verrebbe da dire che l'unità di misura $ [m^2] $ presente in $ |J| $ è dovuta al termine $ r ^ 2 $, ma rimarrebbe un $ [sr^(-1)] $ (che è comunque necessario per compensare le unità di misura dei termini $ d\theta d\phi $ e giungendo quindi a $ [m^3] $, che era proprio l'unità di misura di $ dxdydz $) a cui però non sembra essere associato un termine specifico. E' corretto dire che $ r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi $ potrebbe essere scritto come $ r^2 sin(\theta) c dr d\theta d\phi $ con $ c = 1 [sr^(-1)] $? Grazie a tutti
vi chiederei di chiarirmi un dubbio probabilmente un po' banale. Consideriamo l'integrale triplo $ int_(A) f(x,y,z) dxdydz $ con $ A sub mathbb(R) ^ 3 $ e ipotizziamo che per calcolarlo convenga passare alle coordinate sferiche. Per fare ciò ho bisogno di calcolare il determinante della matrice Jacobiana $ |J| $, relativa alla trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche, quindi l'integrale potrebbe essere riscritto come $ int_(S) f(r,\theta,\phi) |J| drd\thetad\phi = int_(S) f(r,\theta,\phi) r ^ 2 sin(\theta) drd\thetad\phi $. Ipotizziamo di assegnare l'unità di misura di lunghezza $ [m] $ agli assi cartesiani e che quindi $ dxdydz $ abbia come unità di misura $ [m^3] $. Per quanto riguarda $ |J| $ credo che si possa ragionare così (uso le parentesi quadre per indicare le unità di misura):
$ | ( (partial x)/(partial r) , (partial x)/(partial \theta) , (partial x)/(partial \phi) ),( (partial y)/(partial r) , (partial y)/(partial \theta) , (partial y)/(partial \phi) ),( (partial z)/(partial r) , (partial z)/(partial \theta) , (partial z)/(partial \phi) ) | = [m/m]([m/(rad)][m/(rad)]-[m/(rad)][m/(rad)])-[m/(rad)]([m/m][m/(rad)]-[m/(rad)][m/m]) + [m/(rad)]([m/m][m/(rad)]-[m/(rad)][m/m]) = [m^2/(rad^2)] = [m^2/(sr)] $
dove con $ [sr] $ indico lo steradiante. Tornando a considerare $ r ^ 2 sin(\theta) drd\thetad\phi $, mi verrebbe da dire che l'unità di misura $ [m^2] $ presente in $ |J| $ è dovuta al termine $ r ^ 2 $, ma rimarrebbe un $ [sr^(-1)] $ (che è comunque necessario per compensare le unità di misura dei termini $ d\theta d\phi $ e giungendo quindi a $ [m^3] $, che era proprio l'unità di misura di $ dxdydz $) a cui però non sembra essere associato un termine specifico. E' corretto dire che $ r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi $ potrebbe essere scritto come $ r^2 sin(\theta) c dr d\theta d\phi $ con $ c = 1 [sr^(-1)] $? Grazie a tutti
Risposte
Non contare gli angoli, gli angoli sono numeri puri. L'elemento di volume $dxdydz$ ha le dimensioni $[m]^3$ e l'elemento di volume $r^2drd\theta d\phi$ ha le stesse dimensioni, perché $r^2$ contribuisce con un $[m]^2$ e $dr$ con l'altro $[m]$.
Ciao BullDummy,
Seguirei il consiglio di dissonance...
Poi se proprio non ti piace l'idea, a me sembra che i conti tornino comunque: hai dimostrato che $ [|J|] = [m^2/(rad^2)] $ e non ho motivo di credere che tu abbia sbagliato. Quindi si ha:
$[|J| \text{d}r \text{d}\theta \text{d}\phi] = [m^2/(rad^2)] \cdot [m] \cdot [rad] \cdot [rad] = [m^3] $
Seguirei il consiglio di dissonance...
Poi se proprio non ti piace l'idea, a me sembra che i conti tornino comunque: hai dimostrato che $ [|J|] = [m^2/(rad^2)] $ e non ho motivo di credere che tu abbia sbagliato. Quindi si ha:
$[|J| \text{d}r \text{d}\theta \text{d}\phi] = [m^2/(rad^2)] \cdot [m] \cdot [rad] \cdot [rad] = [m^3] $
Ringrazio entrambi per le vostre risposte rapide. Mi ero posto questo problema perché, benché il radiante sia una quantità adimensionale, a volte può portare a delle incongruenze se viene trascurato. Di questo problema se ne parla anche in un editoriale su Nature all'indirizzo https://www.nature.com/articles/548135b.
Un articolo non firmato... Bello!
@Bulldummy
Cambia il sistema di coordinate ma è sempre spazio. Se immagini dxdydz come il volume di un cubo infinitesimale allora passando alle coordinate sferiche viene deformato così:
Puoi tranquillamente immaginare lo jacobiano come un fattore di proporzionalità per mantenere le grandezze invariate durante un cambio di scala.
P.S. ...ecco perchè non ho fatto il liceo artistico
Cambia il sistema di coordinate ma è sempre spazio. Se immagini dxdydz come il volume di un cubo infinitesimale allora passando alle coordinate sferiche viene deformato così:
Puoi tranquillamente immaginare lo jacobiano come un fattore di proporzionalità per mantenere le grandezze invariate durante un cambio di scala.
P.S. ...ecco perchè non ho fatto il liceo artistico
@gugo82
Non avevo notato che l'articolo non era firmato. Purtroppo mi sono lasciato ammaliare dal prestigio di Nature.
Comunque ringrazio tutti voi per le vostre risposte tempestive e per avermi confermato che tutto sommato considerare una sorta di $ c = 1 [sr^{-1}] $ dentro $ |J| $ non è un poi un'idea così campata in aria. Grazie ancora
Non avevo notato che l'articolo non era firmato. Purtroppo mi sono lasciato ammaliare dal prestigio di Nature.
Comunque ringrazio tutti voi per le vostre risposte tempestive e per avermi confermato che tutto sommato considerare una sorta di $ c = 1 [sr^{-1}] $ dentro $ |J| $ non è un poi un'idea così campata in aria. Grazie ancora
A proposito dell'articolo non firmato, credo che non ci sia nulla di strano.
Un articolo non firmato è cosa comune in un giornale, è un articolo di provenienza della redazione, di fatto è un articolo del direttore. Infatti l'articolo citato da BullDummy è un editoriale.
Un articolo non firmato è cosa comune in un giornale, è un articolo di provenienza della redazione, di fatto è un articolo del direttore. Infatti l'articolo citato da BullDummy è un editoriale.
"gabriella127":
A proposito dell'articolo non firmato, credo che non ci sia nulla di strano.
Un articolo non firmato è cosa comune in un giornale, è un articolo di provenienza della redazione, di fatto è un articolo del direttore. Infatti l'articolo citato da BullDummy è un editoriale.
Convenzioni che comunque trovo singolari.
Sulle riviste scientifiche che sono solito consultare, gli articoli, anche quelli del direttore, sono sempre firmati... Anche perché inserire un nome e cognome non è né tipograficamente né fisicamente dispendioso.
I giornali, quelli da edicola, dovrebbero essere altra cosa rispetto a Nature o alle riviste scientifiche in generale.
Capisco quello che dici, ma si vede che ritengono meglio fare così.
In un certo senso, la mancanza di firma conferisce maggiore autorevolezza all'articolo, poiché è sotto la responsabilità del direttore, e non è espressione di ricercatori terzi.
In Italia, un articolo non firmato su un quotidiano è più prestigioso, perché si sa che è del direttore.
Naturalmente non conosco le prassi in altri paesi, ma sembra una cosa simile.
In un certo senso, la mancanza di firma conferisce maggiore autorevolezza all'articolo, poiché è sotto la responsabilità del direttore, e non è espressione di ricercatori terzi.
In Italia, un articolo non firmato su un quotidiano è più prestigioso, perché si sa che è del direttore.
Naturalmente non conosco le prassi in altri paesi, ma sembra una cosa simile.
Comunque l'articolo è interessante, un tipico spunto di riflessione eccellente per un forum come questo. Potrebbe essere più appropriato in Fisica o in Ingegeria.
La mia opinione, da matematico, è che gli angoli sono adimensionali perché possono essere rappresentati da frazioni assolute. Possiamo benissimo scordarci di gradi, radianti e steradianti, e in linea teorica non succede nulla. Per esempio, io posso dire "un angolo retto misura \(1/4\)". Un quarto di che? Di un angolo giro, che non è una quantità arbitraria, è l'unico angolo che è uguale all'angolo nullo. D'altra parte, non ha senso dire "questo righello è lungo \(1/4\)".
È chiaro che uno può scegliere di non esprimere le frazioni in termini dell'unità, ma di usare una qualche altra costante, come \(2\pi\) nel caso dei radianti o \(360\) per i gradi. Ma è una cosa diversa rispetto al caso delle lunghezze. È una scelta che facciamo noi per conformarci con le convenzioni preesistenti, o per semplificare i calcoli, o per altre ragioni tecniche; non è una cosa fondamentale, come nel caso delle lunghezze.
Una parentesi: Bob Palais qualche anno fa ha pubblicato un articolo di divulgazione in cui proponeva di buttare via \(\pi\), considerando invece la costante \(\tau\), uguale a \(2\pi\). In questo modo, un angolo retto misurerebbe \(\frac{1}4\tau\), ritrovando la frazione \(1/4\) di prima. Ne parlammo su questo forum al tempo.
Altro spunto di riflessione: questo post di Terry Tao, in cui propone una formalizzazione matematica completa dell'analisi dimensionale. Lo trovo pressoché illeggibile perché molto difficile, ma comunque è interessante.
La mia opinione, da matematico, è che gli angoli sono adimensionali perché possono essere rappresentati da frazioni assolute. Possiamo benissimo scordarci di gradi, radianti e steradianti, e in linea teorica non succede nulla. Per esempio, io posso dire "un angolo retto misura \(1/4\)". Un quarto di che? Di un angolo giro, che non è una quantità arbitraria, è l'unico angolo che è uguale all'angolo nullo. D'altra parte, non ha senso dire "questo righello è lungo \(1/4\)".
È chiaro che uno può scegliere di non esprimere le frazioni in termini dell'unità, ma di usare una qualche altra costante, come \(2\pi\) nel caso dei radianti o \(360\) per i gradi. Ma è una cosa diversa rispetto al caso delle lunghezze. È una scelta che facciamo noi per conformarci con le convenzioni preesistenti, o per semplificare i calcoli, o per altre ragioni tecniche; non è una cosa fondamentale, come nel caso delle lunghezze.
Una parentesi: Bob Palais qualche anno fa ha pubblicato un articolo di divulgazione in cui proponeva di buttare via \(\pi\), considerando invece la costante \(\tau\), uguale a \(2\pi\). In questo modo, un angolo retto misurerebbe \(\frac{1}4\tau\), ritrovando la frazione \(1/4\) di prima. Ne parlammo su questo forum al tempo.
Altro spunto di riflessione: questo post di Terry Tao, in cui propone una formalizzazione matematica completa dell'analisi dimensionale. Lo trovo pressoché illeggibile perché molto difficile, ma comunque è interessante.
[ot]
Mi sono sempre chiesto se i conti con le unità di misura che si fanno in fisica avessero un qualche senso formale (senza sperarci troppo! Anche se da quello che ho capito questa è solo una proposta, e non c'è davvero gente che usa queste cose). A una certa dice pure che si può dare una definizione "dimensionfull" di integrale.[/ot]
"dissonance":Hai fatto bene a segnalarlo
Altro spunto di riflessione: questo post di Terry Tao, in cui propone una formalizzazione matematica completa dell'analisi dimensionale. Lo trovo pressoché illeggibile perché molto difficile, ma comunque è interessante.
Mi sono sempre chiesto se i conti con le unità di misura che si fanno in fisica avessero un qualche senso formale (senza sperarci troppo! Anche se da quello che ho capito questa è solo una proposta, e non c'è davvero gente che usa queste cose). A una certa dice pure che si può dare una definizione "dimensionfull" di integrale.[/ot]
@marco: In fondo, queste robe fanno tutte parte della teoria dei gruppi, o meglio, della rappresentazione dei gruppi. Prendiamo per esempio la lunghezza. Quando diciamo, per fare un esempio, che un mobile misura \((20 \text{cm}, 80 \text{cm}, 120\text{cm})\), c'è sotto una rappresentazione del gruppo moltiplicativo dei reali positivi, ovvero \((\mathbb R_{>0}, \cdot)\). Possiamo infatti cambiare scala, ovvero applicare un elemento del gruppo, per esempio \(10\). Adesso il mobile misura \((200\text{mm}, 80\text{mm}, 1200\text{mm})\).
Quindi, una misura non è un numero, ma una classe di equivalenza. L'unità di misura serve a ricordare che c'è sotto una relazione di equivalenza. Fin qui è facile; ora però bisogna spiegare cosa significa sommare e moltiplicare le classi di equivalenza, e qui il blog di Tao diventa complicato. (Sospetto che lo abbia scritto nello stesso tempo che sto impiegando io per scrivere questo post).
In fisica, classi di equivalenza di questo tipo appaiono continuamente. Per esempio, un fisico (o un geometra di un secolo fa) ti dirà che un tensore è "una collezione di numeri che si trasforma in un certo modo per cambio di coordinate". Ora, questa costruzione è esattamente la stessa cosa di sopra. Si introduce un "gruppo di struttura", che contiene i cambi di coordinate, e si costruisce un *fibrato*, che è la collezione di certe classi di equivalenza relazionate a questi cambi di coordinate. I tensori sono gli elementi di questo fibrato. Tao parla anche di questo.
La fisica teorica moderna è letteralmente piena di rappresentazione di gruppi.
Quindi, una misura non è un numero, ma una classe di equivalenza. L'unità di misura serve a ricordare che c'è sotto una relazione di equivalenza. Fin qui è facile; ora però bisogna spiegare cosa significa sommare e moltiplicare le classi di equivalenza, e qui il blog di Tao diventa complicato. (Sospetto che lo abbia scritto nello stesso tempo che sto impiegando io per scrivere questo post).
In fisica, classi di equivalenza di questo tipo appaiono continuamente. Per esempio, un fisico (o un geometra di un secolo fa) ti dirà che un tensore è "una collezione di numeri che si trasforma in un certo modo per cambio di coordinate". Ora, questa costruzione è esattamente la stessa cosa di sopra. Si introduce un "gruppo di struttura", che contiene i cambi di coordinate, e si costruisce un *fibrato*, che è la collezione di certe classi di equivalenza relazionate a questi cambi di coordinate. I tensori sono gli elementi di questo fibrato. Tao parla anche di questo.
La fisica teorica moderna è letteralmente piena di rappresentazione di gruppi.
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