Unione regioni semplici nel teorema di Green
Ciao, amici!
Il mio libro di analisi dimostra il teorema di Gauss-Green, enunciato come (data la funzione $\vec F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))$ con $\vec F \in C^1(A)$ e $D \subset A \subset \mathbb{R}^2$ ed $A$ aperto)
\[\iint_D (\partial_x F_2- \partial_y F_1)\text{d}x\text{d}y=\oint_{\partial^+ D} \vec F ·\hat T \text{d}s \]
ponendo come condizioni che
1) $D$ sia l'unione di un numero finito di regioni semplici rispetto ad entrambi gli assi con in comune solo tratti di frontiera e
2) $\partial D$ sia unione di un numero finito di curve chiuse regolari a tratti.
Cercando su Internet più informazioni a riguardo mi pare di capire (per esempio l'Wikipedia dice che the general case [in cui $\partial D$ è "a positively oriented, piecewise smooth, simple closed curve in the plane"] can be deduced from this special case by approximating the domain D by a union of simple domains) che basti la condizione 2) perché essa implicherebbe la 1): è così o no?
Se sì, come si può dimostrare (con questa approssimazione di cui parla l'Wikipedia, per esempio)? Io so (almeno credo) che una curva regolare è localmente cartesiana, di tipo diciamo $f(t)$ con $t$ corrispondente a valori su uno dei due assi delle $x$ o delle $y$, ma affinché queste curve cartesiane di tipo $f(t)$ siano frontiere di un numero finito di regioni semplici ho l'impressione che dovrebbero essere $f$ strettamente monotone oppure costanti su un numero finito di intervalli, in modo da costituire, a seconda del tipo -strettamente monotono o costante- di $f$ presente su ognuno degli intervalli, un numero finito di segmenti perpendicolari ad uno degli assi oppure un numero finito di funzioni localmente invertibili, condizioni queste che mi sembrerebbero necessarie per costruire un numero finito di sottoinsiemi di $D$ che siano regioni semplici rispetto ad entrambi gli assi (in modo da trovare rettangoli e regioni delimitate da funzioni invertibili, esprimibili sia come $y=f(x)$ sia come $x=f(y)$). Se invece esistessero intervalli in cui la curva è localmente cartesiana, di tipo $f(t)$, ma $f$ non è invertibile, come accade se $f$ assume su quell'intervallo un certo valore per infiniti $t$ in quell'intervallo?
Grazie di cuore a chi mi salverà dall'emicrania!!!
Il mio libro di analisi dimostra il teorema di Gauss-Green, enunciato come (data la funzione $\vec F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))$ con $\vec F \in C^1(A)$ e $D \subset A \subset \mathbb{R}^2$ ed $A$ aperto)
\[\iint_D (\partial_x F_2- \partial_y F_1)\text{d}x\text{d}y=\oint_{\partial^+ D} \vec F ·\hat T \text{d}s \]
ponendo come condizioni che
1) $D$ sia l'unione di un numero finito di regioni semplici rispetto ad entrambi gli assi con in comune solo tratti di frontiera e
2) $\partial D$ sia unione di un numero finito di curve chiuse regolari a tratti.
Cercando su Internet più informazioni a riguardo mi pare di capire (per esempio l'Wikipedia dice che the general case [in cui $\partial D$ è "a positively oriented, piecewise smooth, simple closed curve in the plane"] can be deduced from this special case by approximating the domain D by a union of simple domains) che basti la condizione 2) perché essa implicherebbe la 1): è così o no?
Se sì, come si può dimostrare (con questa approssimazione di cui parla l'Wikipedia, per esempio)? Io so (almeno credo) che una curva regolare è localmente cartesiana, di tipo diciamo $f(t)$ con $t$ corrispondente a valori su uno dei due assi delle $x$ o delle $y$, ma affinché queste curve cartesiane di tipo $f(t)$ siano frontiere di un numero finito di regioni semplici ho l'impressione che dovrebbero essere $f$ strettamente monotone oppure costanti su un numero finito di intervalli, in modo da costituire, a seconda del tipo -strettamente monotono o costante- di $f$ presente su ognuno degli intervalli, un numero finito di segmenti perpendicolari ad uno degli assi oppure un numero finito di funzioni localmente invertibili, condizioni queste che mi sembrerebbero necessarie per costruire un numero finito di sottoinsiemi di $D$ che siano regioni semplici rispetto ad entrambi gli assi (in modo da trovare rettangoli e regioni delimitate da funzioni invertibili, esprimibili sia come $y=f(x)$ sia come $x=f(y)$). Se invece esistessero intervalli in cui la curva è localmente cartesiana, di tipo $f(t)$, ma $f$ non è invertibile, come accade se $f$ assume su quell'intervallo un certo valore per infiniti $t$ in quell'intervallo?
Grazie di cuore a chi mi salverà dall'emicrania!!!
Risposte
Mi sta cominciando a venire il dubbio che la Wikipedia generalizzi il teorema in maniera non corretta, senza citare la condizione 1) che ritrovo spesso negli scritti che sto consultando sul teorema...
Mah, che domande... Il fatto è che questi teoremi come sono presentati sui libri di Analisi sono in realtà casi particolari di teoremi generali di geometria differenziale, che hanno enunciati molto più puliti, al prezzo di un armamentario di definizioni più pesante.
Per esempio, se mi venissi a svegliare la notte chiedendomi a bruciapelo quali ipotesi servono alla validità della formula da te citata, io ti bofonchierei che essa vale se \(D\) è un aperto limitato e connesso col bordo di classe \(C^\infty\). Dopo qualche minuto, riacquistata un po' di lucidità, aggiungerei che in realtà è sufficiente avere il bordo di classe \(C^1\) e anzi basta che sia \(C^1\) a tratti, perché esso si può approssimare uniformemente con curve \(C^{\infty}\). Infine, dopo un caffé, ti risponderei che, addirittura, basta che il bordo sia Lipschitziano, perché una funzione Lipschitziana è derivabile quasi ovunque (e quindi l'integrale a secondo membro è ben definito) e perché Rigel ci rassicura che tutto fila liscio (qui).
Con questo voglio dire che sui teoremi che stai studiando spesso si ragiona così, prendendo prima ipotesi molto vantaggiose e poi man mano indebolendole alla bisogna. Non è che bisogna starsela a menare coi domini normali e con il numero-finito-di-curve-regolari-a-tratti-che-si-intersecano-solo-sulla-frontiera...
E non dare troppo credito a Wikipedia. Va bene per una consultazione così, en passant, non per studiare.
Per esempio, se mi venissi a svegliare la notte chiedendomi a bruciapelo quali ipotesi servono alla validità della formula da te citata, io ti bofonchierei che essa vale se \(D\) è un aperto limitato e connesso col bordo di classe \(C^\infty\). Dopo qualche minuto, riacquistata un po' di lucidità, aggiungerei che in realtà è sufficiente avere il bordo di classe \(C^1\) e anzi basta che sia \(C^1\) a tratti, perché esso si può approssimare uniformemente con curve \(C^{\infty}\). Infine, dopo un caffé, ti risponderei che, addirittura, basta che il bordo sia Lipschitziano, perché una funzione Lipschitziana è derivabile quasi ovunque (e quindi l'integrale a secondo membro è ben definito) e perché Rigel ci rassicura che tutto fila liscio (qui).
Con questo voglio dire che sui teoremi che stai studiando spesso si ragiona così, prendendo prima ipotesi molto vantaggiose e poi man mano indebolendole alla bisogna. Non è che bisogna starsela a menare coi domini normali e con il numero-finito-di-curve-regolari-a-tratti-che-si-intersecano-solo-sulla-frontiera...
E non dare troppo credito a Wikipedia. Va bene per una consultazione così, en passant, non per studiare.
$+oo$ grazie, dissonance!!! Le tue risposte sono, come sempre, profonde ed $oo$-mente utili.
Quindi anche per questo non vedo l'ora di approfondire l'argomento...!
Devi aver notato a quali ore sono solito scrivere, tipo alle 00.55 il post sul teorema di Stokes...
caffè in teoremi... (mi viene in mente la battuta di Rényi
)
Grazie di cuore ancora!!!
"dissonance":
questi teoremi come sono presentati sui libri di Analisi sono in realtà casi particolari di teoremi generali di geometria differenziale
Quindi anche per questo non vedo l'ora di approfondire l'argomento...!
"dissonance":
Per esempio, se mi venissi a svegliare la notte chiedendomi a bruciapelo quali ipotesi servono alla validità della formula da te citata
Devi aver notato a quali ore sono solito scrivere, tipo alle 00.55 il post sul teorema di Stokes...
"dissonance":
dopo un caffé
caffè in teoremi... (mi viene in mente la battuta di Rényi
)Grazie di cuore ancora!!!
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