Un'interessante serie di funzioni ....
Cari ragazzi ho questo esercizio che mi da delle perplessità dal momento che tra colleghi ci si ritrova in modo un po' diverso .
Data la serie di funzioni :
$ sum_(n = 1)^(oo )(n ln(1+x/n))/(x+n)^2 $
se ne studi la convergenza puntuale . [ r. $ x> -1 $ ]
Io ho ragionato in tal modo : prendiamo in considerazione il termine generale della serie e cerchiamo di capire se questo converga a zero e con quale ordine . Analizzandola ad occhio , questa converge sempre a zero ma desta incertezza l'ordine con cui vi converga , ma credo sia 2 . A tal punto bisogna imporre che l'argomento del logaritmo sia maggio di zero ; pertanto $ x > -n $ e dunque la serie converge sei $ x > -1 $ ....
Che ne dite ?
Data la serie di funzioni :
$ sum_(n = 1)^(oo )(n ln(1+x/n))/(x+n)^2 $
se ne studi la convergenza puntuale . [ r. $ x> -1 $ ]
Io ho ragionato in tal modo : prendiamo in considerazione il termine generale della serie e cerchiamo di capire se questo converga a zero e con quale ordine . Analizzandola ad occhio , questa converge sempre a zero ma desta incertezza l'ordine con cui vi converga , ma credo sia 2 . A tal punto bisogna imporre che l'argomento del logaritmo sia maggio di zero ; pertanto $ x > -n $ e dunque la serie converge sei $ x > -1 $ ....
Che ne dite ?
Risposte
Formalizziamo un po' l'analisi che hai fatto tu. Quale che sia $x in RR$ (*) , $ln( 1 + x/n )$ ha lo stesso ordine di infinitesimo di $1/n$ per $n \to +oo$... Inoltre, per $n -> +oo$ si ha che $n/(x+n)^2$ tende a $0$ con la stessa "rapidità" di $1/n$. Per ovvie considerazioni sull'ordine del prodotto di due funzioni infinitesime deduci che l'ordine (di infinitesimo) del termine generale della serie è $2$.
(*) Poni le condizioni di realtà del logaritmo e il gioco è fatto.
(*) Poni le condizioni di realtà del logaritmo e il gioco è fatto.
@seneca: Ma io trovo solo che $x>-n$,non riesco proprio a capire perchè "il gioco è fatto"!
Deve valere $x> -n$ per ogni $n in NN-{0}$.
Quindi $x> -1$ è il campo di esistenza
Quindi $x> -1$ è il campo di esistenza
Si si,volevo dire $x>-n$ .
Quindi il ragionamento che ho condotto lo si può considerare giusto ? 
Sì.
Aumento di autostima , in corso Grazie a tutti per la collaborazione !
Grazie a tutti per la collaborazione !
Ragazzi sicuramente avete ragione,però a me sembrano poco rigorosi questi esercizi! 
"Mrhaha":
Ragazzi sicuramente avete ragione,però a me sembrano poco rigorosi questi esercizi!
Esplicita le tue preoccupazioni.. Qual è il passaggio incriminato?
Mrhaha , non è per nulla poco rigoroso questo ragionamento , non si oltraggia alcun tipo di regola , non credi ?
Io e Menale ne abbiamo discusso abbastanza! Il ragionamento mi piace,e secondo me funziona!
Però Quando diciamo che deve valere per $x>-n$ dico che vale per $x>-1$ perchè deve valere per tutti,e quindi dato che $x>-1$ è contenuto il tutti gli $x>-n$,la soluzione è $x>-n$?
Però Quando diciamo che deve valere per $x>-n$ dico che vale per $x>-1$ perchè deve valere per tutti,e quindi dato che $x>-1$ è contenuto il tutti gli $x>-n$,la soluzione è $x>-n$?
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