Uniformemente continua su ogni compatto

[Fox4]

Sia $U$ un aperto in $\mathbb{R}^n$
e sia $f:U->\mathbb{R}$

se $\forall V\sub\sub U\ \ \ f|_V$(ristretta a $V$) è uniformemente continua, che si può dire? Si può dire che è continua? direi di si. Giusto? Mi sapete accennare la dimostrazione o dove trovarla?

[gugo82]

Certo, puoi dire che $f$ è continua in $U$.

Per la dimostrazione basta tener presente che $U$ è unione di una successione crescente di compatti $V_n\sub \sub U$ e che la continuità è una proprietà locale (va verificata in ogni punto) e non globale (ossia in tutto l'insieme; ad esempio, l'integrabilità è una proprietà globale, mentre la derivabilità è locale).

Ovviamente non puoi aspettarti di conservare continuità fin sul bordo di $U$: ad esempio, $f(x)=tgx$ è uniformemente continua su ogni compatto di $]-pi/2,pi/2[$, ma non continua negli estremi.

[Fox4]

"Gugo82":
Per la dimostrazione basta tener presente che $U$ è unione di una successione crescente di compatti $V_n\sub \sub U$ e che la continuità è una proprietà locale

scusa l'ignoranza ma in che modo questo mi aiuta?

"Gugo82":
Ovviamente non puoi aspettarti di conservare continuità fin sul bordo di U

ok, certo

[gugo82]

"Fox":[quote="Gugo82"]
Per la dimostrazione basta tener presente che $U$ è unione di una successione crescente di compatti $V_n\sub \sub U$ e che la continuità è una proprietà locale

scusa l'ignoranza ma in che modo questo mi aiuta?[/quote]
Supponi $U=\bigcup_(n=1)^(+oo) V_n$ con $V_n$ compatti in $U$ e strettamente crescenti ($V_n\subset V_(n+1)$, ma addirittura puoi costruirli con $V_n$ contenuto nell'interno di $V_(n+1)$ ossia $V_n\subset "int"V_(n+1)$)*.
Fissato un punto $x\in U$ esiste un compatto $V_m$ con $x\in "int"V_m$; visto che $f$ è continua in $V_m$, allora essa è continua in $x$.
Data l'arbitrarietà della scelta di $x$, hai continuità della $f$ in $U$.

__________
* Esiste $nu \in NN$ sufficientemente grande tale che l'insieme $V_n:=\{x\in U:\ "dist"(x,\partial U) >= 1/n \} !=\emptyset$ per $n>=nu$. Si vede che $(V_n)$ è strettamente crescente ed ha unione uguale ad $U$; inoltre i $V_n$ sono chiusi e limitati, cioè compatti. Infine, se $x\in V_n$ allora la palla $B(x;1/2(1/n-1/(n+1)))$ è contenuta in $V_(n+1)$, cosicché $x$ è interno a $V_(n+1)$ e $V_n\subset "int"V_(n+1)$.

[Fox4]

aaahh ok adesso ho capito cosa intendevi....

beh si in effetti era abbastanza banale


Grazie