Uniforme ma non totale convergenza
Ciao a tutti
Qualcuno saprebbe dirmi perché la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n * (1/n)$
è uniformemente convergente ma non totalmente convergente?
E' impossibile trovare una successione $M_n$ che maggiori il valore assoluto della successione $a_n$ interna alla serie?
Come faccio in tal caso a dimostrare che la mia serie è uniformemente convergente?
Grazie a chiunque sappia rispondere a queste domande!
Qualcuno saprebbe dirmi perché la serie $\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n * (1/n)$
è uniformemente convergente ma non totalmente convergente?
E' impossibile trovare una successione $M_n$ che maggiori il valore assoluto della successione $a_n$ interna alla serie?
Come faccio in tal caso a dimostrare che la mia serie è uniformemente convergente?
Grazie a chiunque sappia rispondere a queste domande!
Risposte
Soddisfa il criterio di Cauchy, dunque c'è convergenza uniforme; d'altro canto, è impossibile trovare una maggiorate numerica convergente, poiché la serie non converge assolutamente.
P. S.: A margine, osserva che le nozioni di convergenza puntuale ed uniforme e di convergenza assoluta e totale coincidono a coppie per le serie di funzioni costanti.
P. S.: A margine, osserva che le nozioni di convergenza puntuale ed uniforme e di convergenza assoluta e totale coincidono a coppie per le serie di funzioni costanti.
"gugo82":
Soddisfa il criterio di Cauchy,
Ciao gugo!
Oltre alla totale convergenza e al criterio di Cauchy (non trattato nel mio programma di studi, ma che studierò settimana prossima per curiosità), esistono altri criteri che garantiscono la convergenza uniforme?
Il Criterio di Cauchy.
Per una mia curiosità, che spero sia utile pure a Claudio Nine, volevo sapere da lui se ha mai studiato gli spazi normati.
Perché, almeno secondo me, la convergenza totale è molto più facile da comprendere se si definisce lì, è la convergenza della serie delle norme.
Da questo è facilissimo capire perché nel caso di successioni numeriche la convergenza totale è equivalente alla convergenza assoluta, la norma lì è il valore assoluto, la norma consueta in $ mathbb(R) $ .
La definizione con la successione maggiorante la trovo meno 'parlante', non so perché si dà quella. Però penso che si dà quella quando ancora non si sono studiati gli spazi normati.
Però, Claudio Nine, se non hai mai fatto gli spazi normati, non considerare quello che ho detto, può confonderti.
Ci penserai, se vorrai, in seguito.
Perché, almeno secondo me, la convergenza totale è molto più facile da comprendere se si definisce lì, è la convergenza della serie delle norme.
Da questo è facilissimo capire perché nel caso di successioni numeriche la convergenza totale è equivalente alla convergenza assoluta, la norma lì è il valore assoluto, la norma consueta in $ mathbb(R) $ .
La definizione con la successione maggiorante la trovo meno 'parlante', non so perché si dà quella. Però penso che si dà quella quando ancora non si sono studiati gli spazi normati.
Però, Claudio Nine, se non hai mai fatto gli spazi normati, non considerare quello che ho detto, può confonderti.
Ci penserai, se vorrai, in seguito.
"gabriella127":
La definizione con la successione maggiorante la trovo meno 'parlante', non so perché si dà quella.
Sono d'accordo. Io preferisco la terminologia anglosassone. Invece di inventare un nuovo tipo di convergenza, la "convergenza totale", meglio parlare di "test di Weierstrass", o in subordine "M-test" (ma quest'ultimo nome non mi piace granché). La convergenza totale, da essere una definizione, diventa un semplice teorema: una serie che verifica il test di Weierstrass converge assolutamente e uniformemente.
La ragione di questa mia preferenza è che la convergenza totale non serve a niente. Nessuno, tra i teoremi fondamentali, è vero per successioni totalmente convergenti ma non per successioni uniformemente e assolutamente convergenti. Una definizione che non serve a niente va scartata, per economia.
dissonance, tu dici, per quanto riguarda le serie di funzioni, e in generale per serie a valori in uno spazio di Banach, che la convergenza della serie delle norme (cioè la convergenza totale) non serve a niente, tranne che per stabilire la convergenza della serie di partenza?
Infatti 'sta convergenza totale mi aveva sempre lasciato un po' perplessa, mi stava antipatica, poi quando ho visto che era la convergenza della serie delle norme mi sembrava avere più senso, però tu dici che lo stesso non serve a niente in sé.
Infatti 'sta convergenza totale mi aveva sempre lasciato un po' perplessa, mi stava antipatica, poi quando ho visto che era la convergenza della serie delle norme mi sembrava avere più senso, però tu dici che lo stesso non serve a niente in sé.
@gabriella: non ho detto questo, quello a cui fai riferimento è un fatto fondamentale degli spazi di Banach. Ma appunto, è un fatto di spazi di Banach, che tra l'altro ha un suo proprio nome: la serie \(\sum_{n=1}^\infty x_n\) si dice *normalmente convergente* se \(\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|<\infty\). Il che corrisponde alla convergenza totale se come norma si prende la "norma infinito".
In quel contesto, possiamo parlare di tutte le convergenze che vuoi. Nel contesto delle serie di funzioni, la convergenza totale è una definizione di troppo.
In quel contesto, possiamo parlare di tutte le convergenze che vuoi. Nel contesto delle serie di funzioni, la convergenza totale è una definizione di troppo.
Ah ok, chiaro. Ti riferivi alle successioni di funzioni.
Grazie della risposta.
Grazie della risposta.
"gabriella127":
Per una mia curiosità, che spero sia utile pure a Claudio Nine, volevo sapere da lui se ha mai studiato gli spazi normati.
Perché, almeno secondo me, la convergenza totale è molto più facile da comprendere se si definisce lì, è la convergenza della serie delle norme.
Da questo è facilissimo capire perché nel caso di successioni numeriche la convergenza totale è equivalente alla convergenza assoluta, la norma lì è il valore assoluto, la norma consueta in $ mathbb(R) $ .
La definizione con la successione maggiorante la trovo meno 'parlante', non so perché si dà quella. Però penso che si dà quella quando ancora non si sono studiati gli spazi normati.
Però, Claudio Nine, se non hai mai fatto gli spazi normati, non considerare quello che ho detto, può confonderti.
Ci penserai, se vorrai, in seguito.
Non abbiamo trattato gli spazi normati.
Li tratterò in futuro anche per curiosità (:
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