Uniforme convessità e trasformate di Legendre

[dissonance]

Ecco qua un fatto che il libro di Evans lascia per esercizio e su cui io mi sono allegramente incartato.

Prendiamo due funzioni convesse e coercive, [tex]H=H(p)[/tex] (Hamiltoniana) e [tex]L=L(v)[/tex] (Lagrangiana), duali l'una dell'altra nel senso che

[tex]$L(v)=\max_{p \in \mathbb{R}^n} \left( p \cdot v - H(p) \right), \quad H(p)=\max_{v \in \mathbb{R}^n)} \left( v\cdot p - H(p) \right).[/tex]

Supponiamo che [tex]H[/tex] verifichi questa disuguaglianza di uniforme convessità:

[tex]$H\left( \frac{p_1+p_2}{2}\right) \le \frac{H(p_1)}{2} + \frac{H(p_2)}{2} - \frac{\theta}{8} \lvert p_1 -p_2 \rvert^2[/tex]

per un [tex]\theta >0[/tex]. Allora [tex]L[/tex] verifica questa disuguaglianza:

[tex]$\frac{L(v_1)}{2} + \frac{L(v_2)}{2} \le L\left( \frac{v_1+v_2}{2}\right) +\frac{1}{8\theta}\lvert v_1-v_2 \rvert^2[/tex]

e la dimostrazione è lasciata per esercizio. Ma vi devo dire la verità, non ho mica capito come fare. Pensavo di partire dal fatto che, per ogni [tex]p, v\in\mathbb{R}^n[/tex], si ha

[tex]$H(p)+L(v) \ge p \cdot v[/tex]

(fatto che segue direttamente dalla definizione) ma mi imbroglio, e non riesco proprio a capire com'è che quel [tex]8\theta[/tex] finisce a denominatore. Mi date una mano?

[Rigel1]

Mi sembra si possa procedere così.
Siano $p_1$, $p_2$ i punti che forniscono il max per $L(v_1)$, $L(v_2)$. Abbiamo che:
$\frac{L(v_1)}{2} + \frac{L(v_2)}{2} = \frac{1}{2}[p_1 \cdot v_1 - H(p_1) + p_2\cdot v_2 - H(p_2)] \le p_1\cdot v_1 /2 + p_2\cdot v_2 /2 - H(\frac{p_1+p_2}{2}) - \frac{\theta}{8} |p_1-p_2|^2$
$ = \frac{p_1+p_2}{2}\cdot v - H(\frac{p_1+p_2}{2}) + p_1\cdot (v_1-v) /2 + p_2\cdot (v_2-v)-\frac{\theta}{8} |p_1-p_2|^2$,
dove $v=(v_1+v_2)/2$. Ponendo $w=(v_1-v_2)/2$ e semplificando la precedente espressione otteniamo che
$(1)\quad \frac{L(v_1)}{2} + \frac{L(v_2)}{2} \le L(\frac{v_1+v_2}{2}) + \frac{p_1-p_2}{2}\cdot w - \frac{\theta}{2} |\frac{p_1-p_2}{2}|^2$.
Consideriamo la funzione $\phi(p) = p\cdot w - \frac{\theta}{2} |p|^2$; si verifica facilmente che essa ha un punto di massimo assoluto per $p=2w/\theta$, per cui
$\phi(p) \le \frac{1}{2\theta} |w|^2 = \frac{1}{8\theta}| v_1-v_2|^2$.
Usando questa relazione in (1) otteniamo dunque la tesi.

[dissonance]

Alè ho capito!!! Rigel sei un eroe! Tra l'altro ho finalmente afferrato il significato geometrico di questa roba: ci sta dicendo che più la convessità di $H$ è accentuata (quindi tanto più grande è $\theta$), meno la convessità di $L$ è accentuata. E poi voglio aggiungere una chicca, così tanto per sfizio:

Consideriamo la funzione $\phi(p) = p\cdot w - \frac{\theta}{2} |p|^2$

Massimizzare $phi$ al variare di $p$ equivale a calcolare la Lagrangiana associata all'Hamiltoniana $K(p)=theta/2|p|^2$, ovvero l'Hamiltoniana di una particella libera di massa $1/theta$. Questa si ottiene immediatamente dalla definizione di energia cinetica:

$"max"_{p}(p\cdot w - \frac{\theta}{2} |p|^2)= 1/(2theta) |v|^2$.