Uniforme convergenza serie difficilotta
Data la seguente serie: $sum_(n=1)^infty (1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)$
studiare l'uniforme convergenza in $[1,+infty[$ e $]0,+infty[$
per studiare l'uniforme convergenza in $[1,+infty[$ mi studio la totale dato che se converge totalmente in virtù del criterio di Weierstrass convergerà uniformemente ed assolutamente.
Per provare che converge totalmente:
1) $f_n(x)=(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)$ deve essere limitata in $[1,+infty[$
2) $sum_(n=1)^infty "sup" |(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)|$ deve risultare convergente
è la strada giusta maggiorare $1+log(1+n^2x^2)<=2+n^2x^2$ per ogni $n in NN$ e $x in RR$?
in modo da ottenere così: $(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)<=(2+n^2x^2)/(n^2x^2)$ e studiarmi così la seconda?
studiare l'uniforme convergenza in $[1,+infty[$ e $]0,+infty[$
per studiare l'uniforme convergenza in $[1,+infty[$ mi studio la totale dato che se converge totalmente in virtù del criterio di Weierstrass convergerà uniformemente ed assolutamente.
Per provare che converge totalmente:
1) $f_n(x)=(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)$ deve essere limitata in $[1,+infty[$
2) $sum_(n=1)^infty "sup" |(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)|$ deve risultare convergente
è la strada giusta maggiorare $1+log(1+n^2x^2)<=2+n^2x^2$ per ogni $n in NN$ e $x in RR$?
in modo da ottenere così: $(1+log(1+n^2x^2))/(n^2x^2)<=(2+n^2x^2)/(n^2x^2)$ e studiarmi così la seconda?
Risposte
Quella disuguaglianza non ti serve a niente. Infatti la serie [tex]\sum \dfrac{2+n^2x^2}{n^2x^2}[/tex] diverge positivamente per ogni [tex]x \ne 0[/tex] (e te ne accorgi al volo perché [tex]\lim_{n\ \to \infty} \dfrac{2+n^2x^2}{n^2x^2}=1[/tex]).
"dissonance":
Quella disuguaglianza non ti serve a niente. Infatti la serie [tex]\sum \dfrac{2+n^2x^2}{n^2x^2}[/tex] diverge positivamente per ogni [tex]x \ne 0[/tex] (e te ne accorgi al volo perché [tex]\lim_{n\ \to \infty} \dfrac{2+n^2x^2}{n^2x^2}=1[/tex]).
già vero. non viene soddisfatta la cond di convergenza. ma per risolvere quest'esercizio dato che fare la derivata della successione di funzione verrebbe troppo lungo dovrei maggiorarla con qualcosa esatto?
Quando "fai la derivata" della [tex]f_n(x)[/tex] stai maggiorando. Stai usando le tecniche dello "studio di funzione" per trovare la miglior maggiorazione possibile. Mi sa che in questo esercizio ti tocca fare così, perché con disuguaglianze preconfezionate come quella [tex]\log(1+x)\le x,\ x>0[/tex] che hai usato non si conclude niente.
"dissonance":
Quando "fai la derivata" della [tex]f_n(x)[/tex] stai maggiorando. Stai usando le tecniche dello "studio di funzione" per trovare la miglior maggiorazione possibile. Mi sa che in questo esercizio ti tocca fare così, perché con disuguaglianze preconfezionate come quella [tex]\log(1+x)\le x,\ x>0[/tex] che hai usato non si conclude niente.
ho studiato derivando la successione di funzioni $f_(x)$ ma il risultato è abbastanza lungo e difficile. Non c'è nessun'altra strada?
Volendo puoi semplificare un po' ponendo $n^2 x^2 =y$. Ottieni: $f_n (y) =1/y +(log(1+y))/y $. Il primo addendo è una funzione decrescente. Del secondo calcoli la derivata:
$g'(y)=1/(1+y) 1/y -(log(1+y))/(y^2)$ Verifichi che $g'(y)<=0$ almeno per $y>=2$, dato che equivale a dire:
$1/(1+y) <= (log(1+y))/y$
Questa è vera, poichè:
$(log(1+y))/y >=(log(1+y))/(y+1) >= 1/(y+1)$
Pertanto scegliendo $x>=1$ si ha che al peggio dal secondo termine in poi il termine generale è una funzione decrescente, poichè somma di due funzioni decrescenti. Quindi il sup si ha per $x=1$ e basta verificare che la serie dei sup converge.
Lo stesso ragionamento si dovrebbe potere applicare se al posto di $1$ ci fosse $alpha>0$.
La convergenza non è uniforme su $]0, +infty [$ poichè si potrebbe applicare lo scambio limite serie, ma se si introduce il limite dentro la serie si ottiene un termine generale tendente ad infinito.
P.s.: Non ho ricontrollato, quindi potrei avere sbagliato qualcosa.
$g'(y)=1/(1+y) 1/y -(log(1+y))/(y^2)$ Verifichi che $g'(y)<=0$ almeno per $y>=2$, dato che equivale a dire:
$1/(1+y) <= (log(1+y))/y$
Questa è vera, poichè:
$(log(1+y))/y >=(log(1+y))/(y+1) >= 1/(y+1)$
Pertanto scegliendo $x>=1$ si ha che al peggio dal secondo termine in poi il termine generale è una funzione decrescente, poichè somma di due funzioni decrescenti. Quindi il sup si ha per $x=1$ e basta verificare che la serie dei sup converge.
Lo stesso ragionamento si dovrebbe potere applicare se al posto di $1$ ci fosse $alpha>0$.
La convergenza non è uniforme su $]0, +infty [$ poichè si potrebbe applicare lo scambio limite serie, ma se si introduce il limite dentro la serie si ottiene un termine generale tendente ad infinito.
P.s.: Non ho ricontrollato, quindi potrei avere sbagliato qualcosa.
Questo non mi convince:
"robbstark":Sarebbe una contraddizione con la convergenza uniforme se le $f_n(x)$ fossero funzioni continue in $0$, o in circostanze simili. Ma tutte le $f_n$ hanno in $0$ un punto di infinito. Quindi ancora non abbiamo dimostrato che non c'è convergenza uniforme in $(0, \infty)$, mi pare (ATTENZIONE: sto andando di fretta, quindi non sono sicurissimo di quanto dico, controllate per favore).
La convergenza non è uniforme su $]0, +infty [$ poichè si potrebbe applicare lo scambio limite serie, ma se si introduce il limite dentro la serie si ottiene un termine generale tendente ad infinito.
Da quel che ho capito io, vale il seguente teorema, per una serie di funzioni $sum_(n=1)^(+infty) f_n (x) $:
ipotesi: serie uniformente convergente in $A$, $x_0 inDA$, $EE lim_n f_n (x) =l_n$
tesi: scambio limite serie
In realtà è nell'enunciato dice $l_n in S$ dove con $S$ si intendono i reali o i complessi. Nel nostro caso invece $l_n =+infty$ però credo che funzioni lo stesso. Comunque ora provo a verificarlo.
ipotesi: serie uniformente convergente in $A$, $x_0 inDA$, $EE lim_n f_n (x) =l_n$
tesi: scambio limite serie
In realtà è nell'enunciato dice $l_n in S$ dove con $S$ si intendono i reali o i complessi. Nel nostro caso invece $l_n =+infty$ però credo che funzioni lo stesso. Comunque ora provo a verificarlo.
Certo che funziona lo stesso. Ma non vedo come tu possa usarlo per mostrare che la serie non converge uniformemente in [tex](0, +\infty)[/tex]. Infatti:
[tex]\lim_{x \to 0^+}f_n(x)=+\infty[/tex] per ogni [tex]n[/tex], quindi la tua successione [tex]l_n[/tex] è identicamente uguale a [tex]+\infty[/tex]. Se la serie convergesse uniformemente, allora avremmo
[tex]\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0^+}f_n(x)=+\infty[/tex].
quindi, se quest'ultima uguaglianza non fosse verificata, oppure se il limite non esistesse, allora potremmo dire che non c'è la convergenza uniforme. Ma questo tu non lo hai dimostrato, mi pare.
[tex]\lim_{x \to 0^+}f_n(x)=+\infty[/tex] per ogni [tex]n[/tex], quindi la tua successione [tex]l_n[/tex] è identicamente uguale a [tex]+\infty[/tex]. Se la serie convergesse uniformemente, allora avremmo
[tex]\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0^+}f_n(x)=+\infty[/tex].
quindi, se quest'ultima uguaglianza non fosse verificata, oppure se il limite non esistesse, allora potremmo dire che non c'è la convergenza uniforme. Ma questo tu non lo hai dimostrato, mi pare.
Sì in effetti in questo caso lo scambio non porta ad un assurdo.
Correggo: La convergenza non è uniforme poichè $f_n (x)$ non è infinitesima per $x->0$. E' una conseguenza del teorema di uniforme convergenza delle serie di Cauchy.
Correggo: La convergenza non è uniforme poichè $f_n (x)$ non è infinitesima per $x->0$. E' una conseguenza del teorema di uniforme convergenza delle serie di Cauchy.
Puoi spiegarti meglio? Non mi convince neanche questo. Cioè tu dici che una serie di funzioni $sum f_n(x)$, per convergere uniformemente, deve necessariamente avere $lim_{x\to 0}f_n(x)=0$? Mi pare falso...
Sì, dico questo. Comunque spiego da cosa lo deduco, sempre che non ho preso un'altra svista.
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme delle serie: Sia $sum_(n=0)^(+infty) f_n $ una serie di funzioni reali o complesse, tutte definite in $A$. (non viene citata nessuna ipotesi sulla natura di $A$). Condizione necessaria e sufficiente perchè la serie converga uniformemente è che:
$AA epsilon >0 EE nu inNN : AAn>nu, AAp inNN$ risulti $|f_(n+1) (x) +f_(n+2) (x) +...+f_(n+p) (x)|x_0} f_n (x) =0$ $AA x_0 in A$.
A ulteriore conferma, mi pare, sotto è proposto un esercizio: Dimostrare che condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie, è che la successione $f_n$ converga uniformemente alla funzione identicamente nulla.
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme delle serie: Sia $sum_(n=0)^(+infty) f_n $ una serie di funzioni reali o complesse, tutte definite in $A$. (non viene citata nessuna ipotesi sulla natura di $A$). Condizione necessaria e sufficiente perchè la serie converga uniformemente è che:
$AA epsilon >0 EE nu inNN : AAn>nu, AAp inNN$ risulti $|f_(n+1) (x) +f_(n+2) (x) +...+f_(n+p) (x)|
A ulteriore conferma, mi pare, sotto è proposto un esercizio: Dimostrare che condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie, è che la successione $f_n$ converga uniformemente alla funzione identicamente nulla.
Ma ti confondi tra $n$ ed $x$. L'esercizio dice: Condizione necessaria per la convergenza uniforme delle serie è che la successione $f_n$ converga per $n \to infty$, uniformemente rispetto ad $x$, alla funzione nulla per ogni $x$.
Con il tuo ragionamento, infatti, arrivi a dimostrare che $f_n(x)=0$ per ogni $x$. Cioè l'unica serie di funzioni uniformemente convergente è la serie nulla. Questo non è vero.
Un altro esempio più mirato alla tua proposizione: prendi $e^x=sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Questa serie converge uniformemente in ogni intervallo compatto. Considera ora la
$f(x)=e^{x+1}=sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^n}{n!}$;
anche questa seconda serie converge uniformemente su ogni intervallo compatto, ovviamente. Ma dette $f_n(x)=\frac{(x+1)^n}{n!}$, non mi pare proprio che $lim_{x\to0}f_n(x)=0$. Infatti, l'ultimo limite vale $1/{n!}$.
Con il tuo ragionamento, infatti, arrivi a dimostrare che $f_n(x)=0$ per ogni $x$. Cioè l'unica serie di funzioni uniformemente convergente è la serie nulla. Questo non è vero.
Un altro esempio più mirato alla tua proposizione: prendi $e^x=sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Questa serie converge uniformemente in ogni intervallo compatto. Considera ora la
$f(x)=e^{x+1}=sum_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^n}{n!}$;
anche questa seconda serie converge uniformemente su ogni intervallo compatto, ovviamente. Ma dette $f_n(x)=\frac{(x+1)^n}{n!}$, non mi pare proprio che $lim_{x\to0}f_n(x)=0$. Infatti, l'ultimo limite vale $1/{n!}$.
Ammetto di avere creato un po' di confusione, a volte mi succede purtroppo. Comunque il succo è che al crescere di $n$ devo avere che quella somma lì sia più piccola di un $epsilon$ prefissato, indipendentemente da $x$. Se variando $x$ ciò non è più vero, significa che l'epsilon è dipendente da $x$. (detto semibarbaramente). Ora questo non significa che la $f_n (x) =0$, ma di certo deve tendere ad un valore infinitesimo rispetto ad $n$. Ad esempio $lim_{x->x_0} f_n (x) < 1/n $. In realtà si può essere ancora più ristretti, come dimostra l'esercizio proposto sopra. Spero di non avere confuso nuovamente.
Si, è chiaro cosa vuoi dire. E il linguaggio appropriato lo fornisce proprio l'esercizio che hai proposto:
condizione necessaria affinché la serie $sumf_n(x)$ converga uniformemente è che la successione $f_n(x)$ converga a $0$ uniformemente per ogni $x$.
Quindi per mostrare che la serie proposta da mazzy NON converge uniformemente in $RR\setminus {0}$ è sufficiente mostrare che la successione $\frac{1+log(1+n^2x^2}}{n^2x^2}$ non converge a $0$ uniformemente per $x\in RR \setminus{0}$. E questo mi pare vero, a naso.
condizione necessaria affinché la serie $sumf_n(x)$ converga uniformemente è che la successione $f_n(x)$ converga a $0$ uniformemente per ogni $x$.
Quindi per mostrare che la serie proposta da mazzy NON converge uniformemente in $RR\setminus {0}$ è sufficiente mostrare che la successione $\frac{1+log(1+n^2x^2}}{n^2x^2}$ non converge a $0$ uniformemente per $x\in RR \setminus{0}$. E questo mi pare vero, a naso.
Sì, è quello che intendevo. In più però, come regola veloce per verificare la convergenza uniforme della serie, usavo il seguente teorema:
Se una successione di funzioni è uniformemente convergente alla funzione nulla, allora (definitivamente) ciascuna funzione è limitata.
Oppure:
Se una successione di funzioni è uniformemente convergente alla funzione nulla, allora è definitivamente minorata in modulo dai termini di una successione numerica il cui limite è nullo.
Se una successione di funzioni è uniformemente convergente alla funzione nulla, allora (definitivamente) ciascuna funzione è limitata.
Oppure:
Se una successione di funzioni è uniformemente convergente alla funzione nulla, allora è definitivamente minorata in modulo dai termini di una successione numerica il cui limite è nullo.
Si, questo mi convince ed è una buona idea. Si può riassumere formalmente così:
- Sia [tex]A[/tex] un insieme e [tex]f_n\colon A \to \mathbb{R}[/tex] una successione di funzioni. Condizione necessaria affinché la serie [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/tex] sia uniformemente convergente in [tex]A[/tex] è che le funzioni [tex]f_n[/tex] siano limitate. [/list:u:1pxoq8h3]
In particolare, la serie di funzioni proposta da mazzy NON converge uniformemente in [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex]. Ottimo.
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