Uniforme convergenza di serie
Salve, ho un dubbio. È possibile usare il teorema del Dini (https://it.m.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Dini ) per provare che una serie converga uniformemente in un intervallo?
Ad esempio, immaginiamo di avere una serie di funzioni
$sum_{n=1}^\infty f_n(x)$
e di sapere che
1) $s_n=sum_{k=1}^n f_k(x)$ converge puntualmente in $I$;
2) $f_n$ è contunua in $I$ qualunque sia $n\in\NN$;
3) $f_n(x)>0$ qualunque sia $x\in I$ e per ogni $n \in \NN$
In tal caso, la successione delle somme parziali rispetta le ipotesi del teorema ad eccezione della continuità del limite puntuale, che a priori dovrebbe essere ignoto
È possibile rimediare a quest'inconveniente? In altre parole, il teorema di Dini si può usare?
Grazie anticipatamente
Ad esempio, immaginiamo di avere una serie di funzioni
$sum_{n=1}^\infty f_n(x)$
e di sapere che
1) $s_n=sum_{k=1}^n f_k(x)$ converge puntualmente in $I$;
2) $f_n$ è contunua in $I$ qualunque sia $n\in\NN$;
3) $f_n(x)>0$ qualunque sia $x\in I$ e per ogni $n \in \NN$
In tal caso, la successione delle somme parziali rispetta le ipotesi del teorema ad eccezione della continuità del limite puntuale, che a priori dovrebbe essere ignoto
È possibile rimediare a quest'inconveniente? In altre parole, il teorema di Dini si può usare?
Grazie anticipatamente
Risposte
"Cantor99":
[...]
In tal caso, la successione delle somme parziali rispetta le ipotesi del teorema ad eccezione della continuità del limite puntuale, che a priori dovrebbe essere ignoto. [...]
Non è vero, manca l'ipotesi che la serie converga puntualmente. Se vuoi applicare quel teorema a questo caso, la tua successione è
\[ F_N(x) = \sum_{n=1}^N f_n(x) \quad \quad x \in I \quad \quad N \ge 1 \]
dove \( I \subset \mathbb{R} \) è un intervallo chiuso e limitato.
Deve valere che:
1) \( F_N \) è continua per ogni \( N \ge 1 \)
2) \( F_{N+1} (x) \ge F_N(x) \) per ogni \( x \in I \) e ogni \( N \ge 1 \)
3) Esiste \( F : I \to \mathbb{R} \) continua tale che \( F_N(x) \to F(x) \) per ogni \( x \in I \) quando \( N \to + \infty\).
Il che si traduce nelle (o meglio, è sufficiente che valgano queste) condizioni sulla serie e sulle \( f_n \):
1) \( f_n \) è continua per ogni \( n \ge 1 \)
2) \(f_n \ge 0 \) per ogni \( n \ge 1 \)
3) La serie converge puntualmente per ogni \( x \in I \) e lo fa ad una funzione continua.
Quindi se valgono la 1) e la 2) ma non la 3) il teorema non lo puoi usare.
Grazie per la risposta. Ho scritto una cosa per un'altra, nel punto 1) intendevo la serie delle somme parziali, come giustamente puntualizzavi
In definitica, non si può quasi mai usare?
In definitica, non si può quasi mai usare?
"Cantor99":
[...] intendevo la serie delle somme parziali [...]
Successione!
La risposta vera alla tua domanda è: si può usare quando lo dicono le ipotesi.
La riflessione che si può fare è la seguente: il fatto che la funzione limite sia continua è una condizione necessaria per la convergenza uniforme. Quindi se sai subito che la funzione limite non è continua non pensi “mannaggia non posso applicare Dini” ma pensi “mannaggia non c’è convergenza uniforme”.
Poi, come dici, nella “realtà” (cioè nel 99% degli esercizi sulle serie di funzioni) la funzione limite non è nota e questo mette un (bel) po’ i bastoni tra le ruote all’uso di questo teorema. D’altro canto, può essere che per altre vie (cioè senza avere in mano l’espressione esplicita della funzione limite) scopri che essa è continua, e dunque il gioco è fatto.
Morale: non mi sembra il criterio più utile del mondo per stabilire la convergenza uniforme di una serie ma non è nemmeno da buttare via.
Nota che solo “la risposta vera alla tua domanda” è un fatto, il resto sono opinioni!
Ti ringrazio nuovamente e scusa per il nuovo errore di stampa 
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