Uniforme Continuità: esercizio
Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di Analisi Matematica I mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Ora utilizzando la seguente condizione necessaria alla convergenza uniforme:
concludo che la funzione data non può essere uniformemente continua nel suddetto intervallo.
Però (e questa è la parte saliente) io posso anche ragionare così:
la funzione $g(x)=1/(\pi-x^2) : [0,sqrt(\pi) [ rarr RR$ è monotòna crescente in tutto il proprio dominio;
sfruttando il fatto che essa è anche continua nel proprio dominio, il suo insieme immagine è:
$f([0,sqrt(\pi) [)=[1/\pi,+infty[$
posso quindi riscrivere la $f(x)$ in questo modo:
$f(x)=sin(x) : [1/\pi,+infty[ rarr RR$; in questo modo posso dire che la $f(x)$ è uniformemente continua perchè la funzione $sin$ è holderiana.
Io credo che concettualmente sia sbagliato utilizzare la composizione di funzione come ho fatto sopra ( questo perchèho visto un esempio simile al mio esercizio, con la funzione $sin(x^2), x in RR$ in cui si affermava che tale funzione non è uniformemente continua in $RR$ uniformemente continua), anche se a me sembra lecito;
è però ovvio che la funzione o è uniformemente continua, o non lo è.
Quindi chiedo, dove ho sbagliato?
Grazie in anticipo per la risposta
OT
Mi scuso per gli intervalli, ma non sono riuscito a far avere la stessa dimensione alle parentesi a destra e a sinistra!
Dire se la seguente funzione è uniformemente continua nell'intervallo di fianco indicato:
$f(x)=sin(1/(\pi-x^2))$ in $ [0,sqrt(\pi) [ $.
Ora utilizzando la seguente condizione necessaria alla convergenza uniforme:
Sia $f:X rarr RR$ uniformemente continua. Allora, per ogni $x_0 in DX$ esiste finito il $ lim_(x -> x_0) f(x) $
concludo che la funzione data non può essere uniformemente continua nel suddetto intervallo.
Però (e questa è la parte saliente) io posso anche ragionare così:
la funzione $g(x)=1/(\pi-x^2) : [0,sqrt(\pi) [ rarr RR$ è monotòna crescente in tutto il proprio dominio;
sfruttando il fatto che essa è anche continua nel proprio dominio, il suo insieme immagine è:
$f([0,sqrt(\pi) [)=[1/\pi,+infty[$
posso quindi riscrivere la $f(x)$ in questo modo:
$f(x)=sin(x) : [1/\pi,+infty[ rarr RR$; in questo modo posso dire che la $f(x)$ è uniformemente continua perchè la funzione $sin$ è holderiana.
Io credo che concettualmente sia sbagliato utilizzare la composizione di funzione come ho fatto sopra ( questo perchèho visto un esempio simile al mio esercizio, con la funzione $sin(x^2), x in RR$ in cui si affermava che tale funzione non è uniformemente continua in $RR$ uniformemente continua), anche se a me sembra lecito;
è però ovvio che la funzione o è uniformemente continua, o non lo è.
Quindi chiedo, dove ho sbagliato?
Grazie in anticipo per la risposta
OT
Mi scuso per gli intervalli, ma non sono riuscito a far avere la stessa dimensione alle parentesi a destra e a sinistra!
Risposte
Intanto qui:
Poi non capisco a quale risultato generale ti stai rifacendo. Forse la composizione di una funzione hölderiana con una funzione monotona ha obbligo di essere uniformemente continua?
in questo modo posso dire che la f(x) è monotòna continua perchè la funzione sin è holderiana.non è chiaro cosa vuoi dire: evidentemente componendo $sin$ e $1/(pi-x^2)$ non ottieni una funzione monotona.
Poi non capisco a quale risultato generale ti stai rifacendo. Forse la composizione di una funzione hölderiana con una funzione monotona ha obbligo di essere uniformemente continua?
"dissonance":
Intanto qui:
in questo modo posso dire che la f(x) è monotòna continua perchè la funzione sin è holderiana.
non è chiaro cosa vuoi dire: evidentemente componendo sin e 1π-x2 non ottieni una funzione monotona.
Si infatti, ho sbagliato a scrivere (il bello è che ho anche riletto quello che ho scritto prima di postare!!!)
[EDIT]
in questo modo posso dire che $f(x)=sin(x): [1/(\pi),+∞[ rarr RR$ è uniformente continua perchè la funzione sin è holderiana.
[/EDIT]
"dissonance":
Poi non capisco a quale risultato generale ti stai rifacendo. Forse la composizione di una funzione hölderiana con una funzione monotona ha obbligo di essere uniformemente continua?
Assolutamente no! Per questo sto cercando di capire qual'è l'errore nel ragionamento che ho fatto utilizzando la composizione di funzioni:
ho trovato l'insieme immagine di $g(y)=1/(\pi-y^2):[0,sqrt(\pi)[rarr RR$, quindi la funzione che avevo prima diventa $f(x)=f(g(y))=sin(x):[1/(\pi),+infty[rarr RR$; poichè la funzione $sin(x)$ è holderiana, è anche uniformemente continua.
Mi rendo conto che può non essere lecito quello che ho fatto, solo che non riesco a trovarne il motivo!
Ah, ho capito. Beh si, hai ragione: $sin(x)$ è uniformemente continua rispetto ad $x$, ovvero rispetto ad una variabile libera, il che non fornisce alcuna informazione su $sin[g(y)]$. Il tuo caso ne è un esempio, un po' involuto: per qualcosa di più semplice prendi $sin(1/x), x>0$. Chiaro, se sostituiamo $y=1/x$, considerando poi $y$ come variabile indipendente e trascurando quindi il processo che porta da $x$ ad $y$, otteniamo una funzione ultra-regolare della variabile $y$, non della variabile $x$.
Ok, ci siamo, ma segui il mio ragionamento:
la funzione $sin(x)$ è uniformemente continua perchè vale la disuguaglianza $|sin(x)-sin(y)|<=|x-y|$ $AA x in RR$
ora, $x$ e $y$ sono in fin dei conti due numeri, proprio come $x^2$ e $y^2$, o $1/(\pi-x^2)$ e $1/(\pi-x^2)$, o ancora "mele" e "pere", quindi la precedente disuguaglianza deve continuare a valere per qualsiasi numero quindi, secondo me, l'uniforme continuità dovrebbe continuare a valere qualsiasi cosa ci sia dentro la funzione seno.
Naturalmente la matematica non è tenuta ad essere in accordo con le mie personalissime opinioni, ma il problema è proprio questo:
quello che ho detto finora, nella mia testa, viene promosso dal rango di " opinione " a quello di " VERITA' " perchè non riesco a trovare il punto in cui il ragionamento non funziona più; di conseguenza mi arrabbio.
OT
Se ti sono sembrato aggressivo o ti è sembrato che ti stessi sfottendo dal tono di questo ultimo post, scusami, ma non era assolutamente mia intenzione. L'ho detto prima, sono seccato perchè non trovo dove il mio ragionamento non fila più!
la funzione $sin(x)$ è uniformemente continua perchè vale la disuguaglianza $|sin(x)-sin(y)|<=|x-y|$ $AA x in RR$
ora, $x$ e $y$ sono in fin dei conti due numeri, proprio come $x^2$ e $y^2$, o $1/(\pi-x^2)$ e $1/(\pi-x^2)$, o ancora "mele" e "pere", quindi la precedente disuguaglianza deve continuare a valere per qualsiasi numero quindi, secondo me, l'uniforme continuità dovrebbe continuare a valere qualsiasi cosa ci sia dentro la funzione seno.
Naturalmente la matematica non è tenuta ad essere in accordo con le mie personalissime opinioni, ma il problema è proprio questo:
quello che ho detto finora, nella mia testa, viene promosso dal rango di " opinione " a quello di " VERITA' " perchè non riesco a trovare il punto in cui il ragionamento non funziona più; di conseguenza mi arrabbio.
OT
Se ti sono sembrato aggressivo o ti è sembrato che ti stessi sfottendo dal tono di questo ultimo post, scusami, ma non era assolutamente mia intenzione. L'ho detto prima, sono seccato perchè non trovo dove il mio ragionamento non fila più!
Mi permetto di intervenire. Come ha già cercato di spiegarti dissonance, sulla composizione non hai garanzie.
Anche usando la stima di Lipschitzianità per la funzione seno hai che:
$|\sin(g(x)) - \sin (g(y))| \le |g(x)-g(y)|$.
Come vedi, se adesso non hai informazioni su $g$ non puoi concludere granché.
Anche usando la stima di Lipschitzianità per la funzione seno hai che:
$|\sin(g(x)) - \sin (g(y))| \le |g(x)-g(y)|$.
Come vedi, se adesso non hai informazioni su $g$ non puoi concludere granché.
grazie dissonance, grazie Rigel oltre ad avermi illuminato mi avete fatto riflettere su un altra cosa:
se la $g(x)$ fosse uniformemente continua o holderiana allora, la funzione $sin(g(x))$ dovrebbe essere uniformemente continua; sono certo della sufficienza della holderiantà di g(x) per l'uniforme continuità di $sin(g(x))$ perchè l'ho visto scritto, sulla condizione di uniforme continuità non l'ho visto formalmente ma dovrebbe bastare.
Inoltre a questo punto la composizione di due funzioni uniformemente continue dovrebbe essere uniformemente continua!
Però, a questo punto una domanda è lecita:
esiste una condizione sufficiente a garantire l'uniforme continuità di una funzione composta $f$ $o$ $g$ nell'ipotesi che $f$ sia uniformemente continua e $g$ no?
eiste una condizione sufficiente a garantire l'unfiforme continuità di una funzione composta nell'ipotesi che $g$ sia uniformemente continua e $f$ no?
Suggerimenti?
Mi metto al lavoro, grazie ancora!
Eh questi sono tutti esercizi su cui può essere interessante riflettere. Come riflesso condizionato io tendo a considerare che la continuità uniforme non è conservata dalla composizione, a differenza della continuità semplice (e della derivabilità). Però come tu osservi se si prende qualche altra ipotesi sulle funzioni coinvolte allora può scattare un risultato di continuità uniforme sulla composizione.
Tuttavia, esaurire tutta la casistica non mi pare una cosa possibile. Per dirne una, prendiamo le due funzioni di $RR$ in $RR$ di espressione $x^2, e^{-x}$. Non sono uniformemente continue, ma prova a comporle: $e^{-x^2}$ - che ha tutta la regolarità che vuoi.
Tuttavia, esaurire tutta la casistica non mi pare una cosa possibile. Per dirne una, prendiamo le due funzioni di $RR$ in $RR$ di espressione $x^2, e^{-x}$. Non sono uniformemente continue, ma prova a comporle: $e^{-x^2}$ - che ha tutta la regolarità che vuoi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo