Uniforme continuità e uniforme convergenza
Scusate sono risbucati dopo anni i concetti di uniforme continuità e uniforme convergenza, pur avendo rivisto le rispettive definizioni non ho ben chiara la differenza tra continuità e uniforme continuità e convergenza puntuale e uniforme convergenza e analogamente per la convergenza.
Riporto le definizioni:
Una funzione $f:AsubeRR ->RR$
Una funzione $f$ si dice continua in $x inA$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0 text{ tale che } AAy in A text{ se } |x-y|<\delta text{ allora } |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Una funzione $f$ si dice uniformente continua in $x inA$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0 text{ tale che } AAx,y in A text{ se } |x-y|<\delta text{ allora } |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Una successione di funzioni $f_n$ si dice converge puntualmente in $A$ ad $f$ se $lim_(n-oo) f_n=f$ ovvero se $AA \epsilon>0 , AAx in A, EE \nuin NN text{ tale che } |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ $AAn>\nu$.
Una successione di funzioni $f_n$ si dice converge uniformente in $A$ ad $f$ se $AA \epsilon>0 , EE \nu in NN text{ tale che } |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ $AAn>\nu$ e $AAx in A$.
Grazie in anticipo per l'attenzione.
Riporto le definizioni:
Una funzione $f:AsubeRR ->RR$
Una funzione $f$ si dice continua in $x inA$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0 text{ tale che } AAy in A text{ se } |x-y|<\delta text{ allora } |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Una funzione $f$ si dice uniformente continua in $x inA$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0 text{ tale che } AAx,y in A text{ se } |x-y|<\delta text{ allora } |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Una successione di funzioni $f_n$ si dice converge puntualmente in $A$ ad $f$ se $lim_(n-oo) f_n=f$ ovvero se $AA \epsilon>0 , AAx in A, EE \nuin NN text{ tale che } |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ $AAn>\nu$.
Una successione di funzioni $f_n$ si dice converge uniformente in $A$ ad $f$ se $AA \epsilon>0 , EE \nu in NN text{ tale che } |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ $AAn>\nu$ e $AAx in A$.
Grazie in anticipo per l'attenzione.
Risposte
per la continuità...è la stessa differenza che si ha tra una proprietà locale e una globale
Scusa puoi farmi degli esempi, grazie.
la differenza tra le 2 continuità è il $\delta$ che per la normale varia mentre è fisso per l'uniforme.
Pensa per esempio alle funzioni lipschitziane(funzioni, in breve, che hanno i rapporti incrementali limitati) che sono u.c o, usando il Teorema di Heine, tutte le funzioni da un compatto a $RR^m$ sono u.c.
Inoltre puoi controllare su una funzione è u.c se la puoi prolungare con continuità(se $f: A \to RR^m$ è continua e ho $F: \barA \to RR^m$ continua allora è u.c... in realtà è un se e solo se)
Pensa per esempio alle funzioni lipschitziane(funzioni, in breve, che hanno i rapporti incrementali limitati) che sono u.c o, usando il Teorema di Heine, tutte le funzioni da un compatto a $RR^m$ sono u.c.
Inoltre puoi controllare su una funzione è u.c se la puoi prolungare con continuità(se $f: A \to RR^m$ è continua e ho $F: \barA \to RR^m$ continua allora è u.c... in realtà è un se e solo se)
ok grazie
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