Uniforme continuità e Holderianita di funzioni integrali
Buonasera a tutti! Svolgendo esercizi sull'uniforme continuità e sull'holderianita mi sono imbattuto in alcuni con funzioni integrali. Ho qualche dubbio riguardo questi.
"Consideriamo le funzioni integrali $\int_{0}^{x} arctan(e^t)/(sqrt(t)) dt$ e $\int_{1}^{x} sin(1/t) dt$
Determinare se si tratta di funzioni uniformemente continue in $ (0,10)$ e in $(0,+infty)$ "
Per la prima penso che il mio ragionamento sia corretto. Posso estendere la funzione con continuità in x=0 grazie alla convergenza dell'integrale(che segue a sua volta dal confronto asintotico con $1/(sqrt(t)) $). A questo punto per il teorema di Heine Cantor la funzione è uniformemente continua in $[0,10]$. Nel secondo intervallo, che posso spezzare in $(0,10)$ e $(10,+infty)$. Nel secondo intervallo la funzione è lipshtiziana(ha derivata limitata), dunque uniformemetne continua.
Per la seconda invece? Vanno bene simili ragionamenti?
Inoltre un altro dubbio riguarda l'holderianità di questa funzione: $\int_{0}^{sqrt(x)} 1/(arctan(sqrt(t)))dt$ nell'intervallo $(0,1)$. Ho già verificato l'uniforme continuità e ho osservato che non è lipshtiziana.
Ho pensato che la funzione sia 1/4-Holder, ma non saprei come formalizzarlo correttamente.
Grazie a chi vorrà collaborare e partecipare
"Consideriamo le funzioni integrali $\int_{0}^{x} arctan(e^t)/(sqrt(t)) dt$ e $\int_{1}^{x} sin(1/t) dt$
Determinare se si tratta di funzioni uniformemente continue in $ (0,10)$ e in $(0,+infty)$ "
Per la prima penso che il mio ragionamento sia corretto. Posso estendere la funzione con continuità in x=0 grazie alla convergenza dell'integrale(che segue a sua volta dal confronto asintotico con $1/(sqrt(t)) $). A questo punto per il teorema di Heine Cantor la funzione è uniformemente continua in $[0,10]$. Nel secondo intervallo, che posso spezzare in $(0,10)$ e $(10,+infty)$. Nel secondo intervallo la funzione è lipshtiziana(ha derivata limitata), dunque uniformemetne continua.
Per la seconda invece? Vanno bene simili ragionamenti?
Inoltre un altro dubbio riguarda l'holderianità di questa funzione: $\int_{0}^{sqrt(x)} 1/(arctan(sqrt(t)))dt$ nell'intervallo $(0,1)$. Ho già verificato l'uniforme continuità e ho osservato che non è lipshtiziana.
Ho pensato che la funzione sia 1/4-Holder, ma non saprei come formalizzarlo correttamente.
Grazie a chi vorrà collaborare e partecipare
Risposte
La prima funzione va bene. Un piccolo dettaglio: in generale l'uniforme continuità in \((0,10)\) e in \((10, +\infty)\) non implica l'uniforme continuità in \((0,+\infty)\), a meno che tu non specifichi che la funzione è continua (altrimenti potrebbe banalmente avere una discontinuità di tipo salto in \(10\)).
Per la seconda: si tratta di una funzione di classe \(C^1\) in \((0,+\infty)\), con derivata limitata. Di conseguenza è Lipschitziana e, dunque, uniformemente continua.
Per la terza: per \(x>0\), la derivata della funzione è
\[
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} \arctan x^{1/4}}.
\]
Per \(x\to 0\) si ha \(F(x) \sim 1/(2 x^{3/4})\), quindi direi che la tua congettura è corretta. Per formalizzare correttamente, puoi ragionare come segue.
Poiché la funzione è \(C^1((0,+\infty)\), con derivata limitata in ogni semiretta \([a, +\infty)\), \(a > 0\), ti basta dare la stima di Holderianità in un intorno destro di \(0\).
Scegli \(a > 0\) tale che \(\arctan \sqrt{x} \geq \sqrt{x}/2\) per \(x\in [0,a]\).
Se \(0 \leq x < y\leq a\) hai che
\[
|F(y) - F(x)| = \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\arctan\sqrt{t}}\, dt \leq \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2\sqrt{t}}\, dt,
\]
e ora dovresti essere in grado di concludere.
Per la seconda: si tratta di una funzione di classe \(C^1\) in \((0,+\infty)\), con derivata limitata. Di conseguenza è Lipschitziana e, dunque, uniformemente continua.
Per la terza: per \(x>0\), la derivata della funzione è
\[
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} \arctan x^{1/4}}.
\]
Per \(x\to 0\) si ha \(F(x) \sim 1/(2 x^{3/4})\), quindi direi che la tua congettura è corretta. Per formalizzare correttamente, puoi ragionare come segue.
Poiché la funzione è \(C^1((0,+\infty)\), con derivata limitata in ogni semiretta \([a, +\infty)\), \(a > 0\), ti basta dare la stima di Holderianità in un intorno destro di \(0\).
Scegli \(a > 0\) tale che \(\arctan \sqrt{x} \geq \sqrt{x}/2\) per \(x\in [0,a]\).
Se \(0 \leq x < y\leq a\) hai che
\[
|F(y) - F(x)| = \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{\arctan\sqrt{t}}\, dt \leq \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2\sqrt{t}}\, dt,
\]
e ora dovresti essere in grado di concludere.
Grazie mille!! Si scusa per la prima funzione il fatto della continuità è essenziale. La seconda poi ci avevo ripensato...non era difficile.
Per l'holderianità il ragionamento mi è chiaro...ma l'unico modo era quello di passare attraverso quella disuguaglianza?
Per l'holderianità il ragionamento mi è chiaro...ma l'unico modo era quello di passare attraverso quella disuguaglianza?
Ho un altro paio di dubbi in queste ultime due funzioni: $\int_{sqrt(x)}^{x} sint/t dt$ e $\int_{0}^{x} dt/(sqrt(abs(logt))) $
Devo sempre studiarne l'un.continuità, la lipsh, e l'holderianità negli intervalli $ (0,1) $ e $(0,+infty)$
Per la prima osservo che è estendibile con continuità in x=0(segue dal fatto che è limitata in un intorno di zero) e che è lipschtiziana in ogni intervallo del tipo $[a,+infty)$ con a>0. Dunque è uniformemente continua nei due intervalli. Resta da analizzare l'holderianità in un intorno di zero. Devo giocarmela con qualche disuguaglianza come prima?
Per la seconda funzione invece, osservo che è uniformemente continua in (0,1) grazie alla convergenza dell'integrale nei due punti (o sbaglio?? Entrambi dovrebbero convergere per confronto asintotico con $1/sqrt(t) $ con opportuni cambi di variabile).La lipschtizianità poi non è difficile. L'unico problema è l'holderianità che devo studiare in questo caso in un intorno di 1(qui la derivata è illimitata). Devo sfruttare un cambio di variabili?
Grazie in anticipo!!
Devo sempre studiarne l'un.continuità, la lipsh, e l'holderianità negli intervalli $ (0,1) $ e $(0,+infty)$
Per la prima osservo che è estendibile con continuità in x=0(segue dal fatto che è limitata in un intorno di zero) e che è lipschtiziana in ogni intervallo del tipo $[a,+infty)$ con a>0. Dunque è uniformemente continua nei due intervalli. Resta da analizzare l'holderianità in un intorno di zero. Devo giocarmela con qualche disuguaglianza come prima?
Per la seconda funzione invece, osservo che è uniformemente continua in (0,1) grazie alla convergenza dell'integrale nei due punti (o sbaglio?? Entrambi dovrebbero convergere per confronto asintotico con $1/sqrt(t) $ con opportuni cambi di variabile).La lipschtizianità poi non è difficile. L'unico problema è l'holderianità che devo studiare in questo caso in un intorno di 1(qui la derivata è illimitata). Devo sfruttare un cambio di variabili?
Grazie in anticipo!!
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