Uniforme continuità delle isometrie

[Dreamphiro]

Potreste dimostrami che una isometria, in uno spazio metrico, é sempre uniformemente continua? C'entra qualcosa la lipschzianità? E poi, l'unione di una famiglia di insiemi limitati é un sottoinsieme limitato? In questo secondo caso é immediato su R, ovviamente!:) Ma non saprei generalizzarlo...Allora, se sono tutti uguali ovviamente l'unione é limitata dal raggio di una qualsiasi degli insiemi. Altrimenti, se sono diversi, tra loro c'é comunque una distanza massima, quindi prendendo questa distanza massima, prendendo uno dei due x a distanza massima, e facendo il raggio r uguale alla distanza massima ottengo il risultato voluto?

[Dreamphiro]

No, anzi, la mia dimostrazione credo sia giusta per famiglie di sottoinsiemi finiti limitati.

[gugo82]

Siano \((X,d_X)\) ed \((Y,d_Y)\) spazi metrici ed \(f:X\to Y\) un'isomentria.
Allora:
\[
d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2)
\]
e quindi affinché \(d_Y(f(x_1),f(x_2))\) risulti minore di \(\varepsilon >0\) basta prendere...

[Dreamphiro]

Epsilon stesso giusto?

[gugo82]

Eh?

[Dreamphiro]

Prendo epsilon stesso come delta, non va bene?

[gugo82]

Sì, ovviamente (sempre ammesso che tu ti stia riferendo al \(\delta\) che figura nella definizione di uniforme continuità e non a questa delta).