Uniforme continuità (chiarimento passaggio algebrico in un esempio)
Ciao a tutti, chiedo lumi riguardo a un esempio sull'uniforme continuità tratto dal Salsa-Pagani, p. 232 (ed. 1997).
Il concetto di uniforme continuità mi pare chiaro; nel libro viene anticipato da due esempi:
Primo esempio:
$f(x) = x^2$ considerata nell'intervallo (0,1)
Secondo esempio:
$g(x) = 1/x$ considerata ancora nell'intervallo (0,1)
Primo esempio:
Affinché $f(x)$ sia continua, deve essere $ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $. Per la definizione di limite, deve essere quindi vero che $ AA epsilon >0 EE delta (epsilon)$ t.c. $ |x-x_0|
Su quel "minore o uguale" in questa diseguaglianza:
1) visto che siamo nell'intervallo aperto (0, 1), si potrebbe scrivere $<$ al posto di $<=$ ?
2) se fosse il caso dell'uguale, non verrebbe a mancare la condizione richiesta dalla def. di limite, cioè che sia abbia $|f(x)-f(x_0)|
Secondo esempio:
Devo trovare un $delta$ per il quale $AA epsilon, |x-x_0|
$x_0/(1 + x_0 epsilon) <= x <= min(1, x_0/(1 - epsilon x_0}) $
$-(x_0^2 epsilon)/(1+x_0 epsilon) <= x - x_0 <= (epsilon x_0^2)/(1-epsilonx_0}$
Fin qui si sono. Non capisco invece come mai il $delta$ che stiamo cercando, cioè il più grande per cui la disuguaglianza $|1/x-1/x_0|
Scusate per la barbosità della domanda, vi sarete addormentati
Il concetto di uniforme continuità mi pare chiaro; nel libro viene anticipato da due esempi:
Primo esempio:
$f(x) = x^2$ considerata nell'intervallo (0,1)
Secondo esempio:
$g(x) = 1/x$ considerata ancora nell'intervallo (0,1)
Primo esempio:
Affinché $f(x)$ sia continua, deve essere $ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $. Per la definizione di limite, deve essere quindi vero che $ AA epsilon >0 EE delta (epsilon)$ t.c. $ |x-x_0|
Su quel "minore o uguale" in questa diseguaglianza:
1) visto che siamo nell'intervallo aperto (0, 1), si potrebbe scrivere $<$ al posto di $<=$ ?
2) se fosse il caso dell'uguale, non verrebbe a mancare la condizione richiesta dalla def. di limite, cioè che sia abbia $|f(x)-f(x_0)|
Secondo esempio:
Devo trovare un $delta$ per il quale $AA epsilon, |x-x_0|
$x_0/(1 + x_0 epsilon) <= x <= min(1, x_0/(1 - epsilon x_0}) $
$-(x_0^2 epsilon)/(1+x_0 epsilon) <= x - x_0 <= (epsilon x_0^2)/(1-epsilonx_0}$
Fin qui si sono. Non capisco invece come mai il $delta$ che stiamo cercando, cioè il più grande per cui la disuguaglianza $|1/x-1/x_0|
Scusate per la barbosità della domanda, vi sarete addormentati
Risposte
"jitter":
Su quel "minore o uguale" in questa diseguaglianza:
1) visto che siamo nell'intervallo aperto (0, 1), si potrebbe scrivere $<$ al posto di $<=$ ?
2) se fosse il caso dell'uguale, non verrebbe a mancare la condizione richiesta dalla def. di limite, cioè che sia abbia $|f(x)-f(x_0)|
Direi che la risposta ad entrambe le domande è affermativa. In entrambe le disuguaglianze dovrebbe esserci il \(<\), l'uguaglianza non può verificarsi in alcun modo, sia per la scelta del \(\delta\) che per l'intervallo in questione. Usare il \(\leq\) non è scorretto, ma di certo è fuorviante.
"jitter":
Secondo esempio:
[...]
$delta = (epsilon x_0)/(1 + epsilon x_0)$
Attenzione, dev'essere
\[\delta = \frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0}\]
senza quel quadrato il risultato in generale non varrà. Comunque sia, la tua intuizione è corretta. \(\delta\) è la distanza tra \(x\) ed \(x_0\). Ipotizzando che sia \(x \geq x_0\) si ha che \(x - x_0 = \delta\), e per il risultato che riporti
\[
- \frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0} \leq \delta \leq \frac{\varepsilon x_0^2}{1 - \epsilon x_0}
\]
similmente, se \(x < x_0 \) l'espressione di prima diventa
\[
\begin{split}
- \frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0} \leq - &\delta \leq \frac{\varepsilon x_0^2}{1 - \epsilon x_0} \Rightarrow \\
\frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0} \geq &\delta \geq - \frac{\varepsilon x_0^2}{1 - \epsilon x_0} \Rightarrow \\
- \frac{\varepsilon x_0^2}{1 - \epsilon x_0} \leq &\delta \leq \frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0} \\
\end{split}
\]
perciò prendendo il più piccolo raggio contenuto in entrambe le stime abbiamo la certezza che:
\[
\delta \leq \frac{\varepsilon x_0^2}{1 + \epsilon x_0}
\]
funzioni. Non potendo stabilire in generale se \(x\) sia maggiore o minore di \(x_0\) l'unica stima che possiamo effettuare con certezza e questa, se ne prendiamo una più grande funzionerà "solo da un lato".
Ciao Epimenide, e grazie per la risposta!
Però non penso ci sia un errore nel libro, perché è difficile digitare $<=$ al posto di $<$, e poi c'è due volte. Boh...
Qui non mi è chiaro: $delta$ non è un valore superiore alla distanza tra $x$ e $x_0$? ($ |x-x_0|"Epimenide93":
perciò prendendo il più piccolo raggio contenuto in entrambe le stime abbiamo la certezza che:
δ≤εx201+ϵx0
Questo non riesco a intuirlo algebricamente: cioè, capisco che bisogna prendere il raggio più piccolo, ma mi confondo nel determinare che il più piccolo raggio è quello - per capirci - con il "+" al denominatore. Forse è una stupidata algebrica, ma non mi viene...
"Epimenide93":
Usare il ≤ non è scorretto, ma di certo è fuorviante.
Però non penso ci sia un errore nel libro, perché è difficile digitare $<=$ al posto di $<$, e poi c'è due volte. Boh...
"Epimenide93":
δ è la distanza tra x ed x0
Qui non mi è chiaro: $delta$ non è un valore superiore alla distanza tra $x$ e $x_0$? ($ |x-x_0|
perciò prendendo il più piccolo raggio contenuto in entrambe le stime abbiamo la certezza che:
δ≤εx201+ϵx0
Questo non riesco a intuirlo algebricamente: cioè, capisco che bisogna prendere il raggio più piccolo, ma mi confondo nel determinare che il più piccolo raggio è quello - per capirci - con il "+" al denominatore. Forse è una stupidata algebrica, ma non mi viene...
"jitter":
Però non penso ci sia un errore nel libro, perché è difficile digitare $<=$ al posto di $<$, e poi c'è due volte. Boh...
Beh, a parte che non è un errore vero e proprio, posso garantirti che nei libri ho incontrato errori di ogni tipo
fai bene a verificare questi passaggi e a farti queste domande, non è affatto detto che un risultato presente su un singolo libro sia corretto. Addirittura conosco un esempio (geometrico) irrimediabilmente sbagliato che mi è stato presentato come risultato da più fonti[nota]l'esempio è quello riportato qui nel primo paragrafo.[/nota]. Ahimè, capita."jitter":
Qui non mi è chiaro: $delta$ non è un valore superiore alla distanza tra $x$ e $x_0$?
Hai ragione, avrei dovuto scrivere che è una maggiorazione per la distanza tra \(x\) ed \(x_0\), errore mio. Essendo l'unico dato che abbiamo al riguardo tendo a pensarla direttamente come la distanza tra i due.
"jitter":
mi confondo nel determinare che il più piccolo raggio è quello - per capirci - con il "+" al denominatore.
È abbastanza comune che la cosa causi confusione. Ricorda che date due frazioni con uguale numeratore, è maggiore quella col denominatore minore. Una regoletta pratica per ricordarlo è quella di ricordare che \(\lim_{x \to 0} 1/x = \infty\): "numeratore fisso, più vai a sinistra (per valori positivi) più la funzione cresce". (Per il caso razionale, a volte si dice che "se la stessa parte è divisa in più pezzi, i pezzi sono più piccoli".) Nel caso in questione il numeratore è sempre lo stesso, uno dei due denominatori è sempre \(>1\) e l'altro è sempre compreso fra \(0\) ed \(1\), quindi invariabilmente il numero più grande sarà "quello col \(-\)".
Evvai, la notte mi ha portato consiglio!
no dai, questo sarebbe da neuro: era stata un'altra cosa a confondermi.
Alla prossima, Epimenide, e grazie ancora
"Epimenide93":
È abbastanza comune che la cosa causi confusione. Ricorda che date due frazioni con uguale numeratore, è maggiore quella col denominatore minore.
no dai, questo sarebbe da neuro: era stata un'altra cosa a confondermi.
Alla prossima, Epimenide, e grazie ancora
[ot]
Tra ripetizioni e supporto dato a colleghi di corso non hai idea quante volte possa aver visto incomprensioni molto peggiori di quella che avevo supposto tua. Ad ogni modo, lieto che tu abbia risolto
[/ot]
"jitter":
no dai, questo sarebbe da neuro
Tra ripetizioni e supporto dato a colleghi di corso non hai idea quante volte possa aver visto incomprensioni molto peggiori di quella che avevo supposto tua. Ad ogni modo, lieto che tu abbia risolto
[/ot]
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