Uniforme continuità

[Simonkb24]

ho la seguente funzione $f(x,y)= x/(sqrty) if y>0$ e $f(x,y)=0 if y=0 $ e mi viene che è continua..ora il mio dubbio riguarda la continuità uniforme in
$ D= |x|<=y<=2 $
ho sfruttato il teorema di Cantor e ho visto se è limitata e ho ragionato in questo modo studio $ |f(x,y)| (>=0)=(|x|/|sqrty|)<=|(y/(sqrty))|<=|sqrty|<=|sqrt2| $ giungendo cosi alla conclusione che asserendo al teorema di Cantor è uniformemente continua..è sbagliato il mio modo di procedere?

[abral]

D è un insieme compatto.
Se $ x/sqrt(y) $ è continua in $ RR^2 $, allora è continua in D e quindi è uniformemente continua in D per il teorema di Cantor.
Ma sei sicuro che $ x/sqrt(y) $ è continua in $ (0,0) $?

[Simonkb24]

"abral":Ma sei sicuro che $ x/sqrt(y) $ è continua in $ (0,0) $?

si sulle rette, su un fasci e su una parabola mi viene sempre 0 e quindi ho risolto in coordinate polari e mi viene 0

[abral]

"Simonkb24":[quote="abral"]Ma sei sicuro che $ x/sqrt(y) $ è continua in $ (0,0) $?

si sulle rette, su un fasci e su una parabola mi viene sempre 0 e quindi ho risolto in coordinate polari e mi viene 0[/quote]

Non so come si usano le coordinate polari per il calcolo dei limiti, ma secondo me le usi male

Guarda bene sulla parabola $y=x^2$

[Simonkb24]

"abral":

Guarda bene sulla parabola $y=x^2$

vale 1..quindi non esiste..perchè negli altri punti è infinitesima..e come faccio a dire che converge uniformemente?
p.s. comunque le coordinate polari si tratta di $x=rhocostheta;y=rhosentheta$ con $rho->0$ e se viene un valore non dipendente da teta allora converge a quel valore..almeno questo è ciò che ho capito io..ma al di la di questo il problema della convergenza uniforme come va risolto?

[abral]

Puoi maggiorare la funzione con qualcosa che va a 0.
Qui se sei in $ RR^2 $ non puoi maggiorare con nulla di significativo, ma se invece sei in quel dominio la maggiorazione la puoi fare (ed è pure immediata ).

[Simonkb24]

$ |f(x,y)| (>=0)=(|x|/|sqrty|)<=|(y/(sqrty))|<=|sqrty|$ che per $y->0$ viene 0 va bene?

ne approfitto per chiedere anche informazioni su questa $(xy^2)/(x^4+y^2)$ se $(x,y)ne(0,0)$ viceversa vale 0..su wikipedia c'è la stessa funzione con x e y al denominatore invertiti e dice che non è continua in 0 quindi non differenziabile..ma perché non è continua ? ho provato a mettermi sulle due parabole assi bisettrice fascio di rette ma mi viene sempre 0 al che ho provato con le coordinate polari e mi viene 0...perché non è continua?

[Simonkb24]

anche perchè questa funzione $(xy^2)/(x^4+y^2)$ se $(x,y)ne(0,0)$ posso maggiorarla in questo modo $|(xy^2)/(x^4+y^2)|<=|x|(y^2)/(x^4+y^2)<=|x|$ essendo $y^2

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