Uniforme continuità
Dunque devo stabilire dove la funzione f(x)=sqrt(x)logx è uniformemente continua.
inanzitutto x>0 quindi studio solo R+ .
però poi facendo il lim x->inf di f(x) viene ovviamente infinito, ma ho il sospetto che sia cmq uniformemente continua...
dove sbaglio?
inanzitutto x>0 quindi studio solo R+ .
però poi facendo il lim x->inf di f(x) viene ovviamente infinito, ma ho il sospetto che sia cmq uniformemente continua...
dove sbaglio?
Risposte
$f(x)=sqrt(x)*ln(x)$
$f'(x)=ln(x)/(2sqrt(x))+1/sqrt(x)$
se a>0 allora f(x) è lipschitziana su $[a,+oo)$ quindi uniformemente continua sullo stesso intervallo.
per quanto riguarda (0,a] è uniformemente continua perchè si può estendere per continuità in 0.
spero di non aver scritto boiate
$f'(x)=ln(x)/(2sqrt(x))+1/sqrt(x)$
se a>0 allora f(x) è lipschitziana su $[a,+oo)$ quindi uniformemente continua sullo stesso intervallo.
per quanto riguarda (0,a] è uniformemente continua perchè si può estendere per continuità in 0.
spero di non aver scritto boiate

La soluzione proposta è corretta.
piccolo commento, probabilmente implicito nella testa di rubik, ma che forse vale la pena di rendere esplicito:
la funzione data è quindi uniformemente continua su tutto $]0,+oo[$
infatti, se una funzione è uniformemente continua su una famiglia finita di insiemi, lo è anche sulla loro unione
la funzione data è quindi uniformemente continua su tutto $]0,+oo[$
infatti, se una funzione è uniformemente continua su una famiglia finita di insiemi, lo è anche sulla loro unione