Uniforme continuita
Ciao, ho un problema sull applicazione del teorema di Heine-Cantor.
L esercizio e il seguente:
Dimostrare che la funzione $g(x)=(sinx-x)/(e^(x^3)-1)$ (definita per ogni x diverso da 0) e uniformemente continua nell'intervallo $]0,1]$.
Applicare opportunamente il teorema di Heine-Cantor.
Io ho capito che potrei applicare il teorema sull'intervallo [0+epsilon,1] visto che in 0 non e definita pero, non so come si applichi tale teorema.
Grazie ciao!
L esercizio e il seguente:
Dimostrare che la funzione $g(x)=(sinx-x)/(e^(x^3)-1)$ (definita per ogni x diverso da 0) e uniformemente continua nell'intervallo $]0,1]$.
Applicare opportunamente il teorema di Heine-Cantor.
Io ho capito che potrei applicare il teorema sull'intervallo [0+epsilon,1] visto che in 0 non e definita pero, non so come si applichi tale teorema.
Grazie ciao!
Risposte
Suggerirei di controllare se la funzione data si prolunga per continuita' a $[0,1]$; se cosi' fosse uno usa Heine-Cantor su $[0,1]$ per la funzione prolungata, e conclude la stessa tesi anche per $g$.
in che senso la funzione si prolunga per continuità in $[0,1]$?in 0 non esiste la funzione e non mi sembra derivabile quindi non continua...e cmq il mio problema principale e l applicazione del teorema all'esercizio...
Se il limite per $x$ che tende a $0$ da destra esiste ed e' finito uno puo' considerare la nuova funzione $f$ che vale tale limite per $x=0$ e vale $g$ su $(0,1]$. $f$ e' continua su un intervallo chiuso e limitato, quindi e' unformemente continua. Se scrivi poi la definizione di uniforme continuita' per ogni $x,y \in (0,1]$ allora hai l'uniforme continuita' di $g$.
ok, fin qua c ero...ma la dimostrazione dovrebbe mostrare l applicazione del teorema di Heine-Cantor con i suoi passaggi algebrici. Sono quelli che non so fare...
No, non richiede quello. Io leggo "Applicare opportunamente il teorema di Heine-Cantor". Applicare un Teorema non significa tentare di riscrivere la dimostrazione, che non ti funzionera' probabilmente perche' non puo' funzionare se non sai il comportamento della funzione $g$ per $x$ che tende a $0^+$.
aaaaaah ok....quindi dopo aver fatto i vari passaggi descritti precedentemente bastera soltanto enunciarlo il teorema?
Teorema:"se la funzione $f(x)$ e continua in un intervallo chiuso e limitato $I=[a,b]$, allora è anche uniformemente continua"
finisce cosi il problema dopo aver considerato l intervallo $(0,1]$?
Teorema:"se la funzione $f(x)$ e continua in un intervallo chiuso e limitato $I=[a,b]$, allora è anche uniformemente continua"
finisce cosi il problema dopo aver considerato l intervallo $(0,1]$?
Finisce qui modulo la dimostrazione che effettivamente $g$ si puo' prolungare per continuita'.
grazie mille Luca...alla prossima!!
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