Uniforme continuità

[SteezyMenchi]

Qualcuno può spiiegarmi cortesemente la dimostrazione del teorema di Heine-Cantor
$f \in C^°([a,b]) rArr " f è unif. continua"$
Il professore l'ha dimostrata per assurdo in tal modo:
Abbiamo negato la definizione di uniforme continuità
$EE \epsilon >0: AA\delta>0 EE x,y \in domf : |x-y|<\delta$ ma $|f(x)-f(y)| >=\epsilon$
Allora si prende $AAn \in N, \delta=1/n \to0$ e dunque
$EE x_n,y_n \in domf ( "ovvero è limitata all' intervallo" [a,b] ) : |x_n-y_n|<\delta e |f(x_n)-f(y_n)| >= \epsilon $ (**)
Ma siccome $x_n$ è limitata, per B-W,
$EEx_(k_n) rarr x_0 \in [a,b]$
Fino a qui tutto ok da adesso in poi ho qualche problema
${|y_(k_n)-x_(k_n)|<1/k_n ^^x_(k_n)\tox_0} rArr y_(k_n) \to x_0$
Quest'ultima implicazione da dove salta fuori e cosa significa, cos'è quella successione $k_n$ a denominatore
Poi il prof ha usato questa implicazione
$f "continua" rArr f(x_(k_n)) "e" f(y_(k_n)) \to f(x_0) rArr f(x_(k_n))-f( y_(k_n) ) \to0$ (come si spiega l'implicazione, cioè non mi ricordo il motivo per cui le immagini dell'estratte tendono all'immagine del valore cui tendono le sottosuccessioni)
ma ciò è assurdo per la (**)
Io ho capito fino al punto in cui abbiamo preso un'estratta grazie a Bolzano-Weierstrass poi non ho più capito nulla sinceramente. Grazie mille a chi risponderà

[Mephlip]

"SteezyMenchi":
${|y_(K_n)-x_(K_n)|<1/k_n ^^x_(k_n)\tox_0} rArr y_(k_n) \to x_0$
Quest'ultima implicazione da dove salta fuori e cosa significa, cos'è quella successione kn a denominatore
Poi il prof ha usato questa implicazione

I $k_n$ sono gli indici della sottosuccessione, che a loro volta puoi vedere come una successione (tendente a $\infty$ di numeri naturali). Ad esempio, la successione $(a_n)_n=(0,1,2,3,...)$ di termine generico $a_n=n$, ha come sottosuccessione $(a_{k_n))_{k_n}=(1,3,4,6,...)$ e $k_1=1$, $k_2=3$, $k_3=4$, $k_4=6$, eccetera.

L'implicazione è il teorema dei due carabinieri: grazie alla stima $|x_{k_n}-y_{k_n}|<\frac{1}{k_n}$ e dal fatto che $\frac{1}{k_n} \to 0$ per $k_n \to \infty$ sai che la distanza tra $x_{k_n}$ e $y_{k_n}$ tende a $0$ per $k_n \to \infty$, segue che $y_{k_n}$ per $k_n \to \infty$ tende allo stesso limite di $x_{k_n}$ per $k_n \to \infty$. Ma sai che $x_{k_n} \to x_0$ per $k_n \to \infty$, perciò segue che $y_{k_n} \to x_0$.

"SteezyMenchi":
Poi il prof ha usato questa implicazione
$f "continua" rArr f(x_(k_n)) "e" f(y_(k_n)) \to f(x_0) rArr f(x_(k_n))-f( y_(k_n) ) \to0$ (come si spiega l'implicazione, cioè non mi ricordo il motivo per cui le immagini dell'estratte tendono all'immagine del valore cui tendono le sottosuccessioni)

Questa è la continuità per successioni: prendi $A \subseteq \mathbb{R}$ insieme non vuoto, prendi $f:A \to \mathbb{R}$ e prendi $a_0 \in A$. Hai che $f$ è continua (in una qualsiasi delle svariate definizioni: $\varepsilon$-$\delta_{\varepsilon}$, per ricoprimenti, o quella topologica con gli aperti) in $a_0$ se e solo se per ogni successione $(a_n)_n \subseteq A$ tale che $a_n \to a_0$ per $n \to \infty$ si ha $f(a_n) \to f(a_0)$ per $n\to \infty$; dato che hai appena scoperto che $x_{k_n}$ e $y_{k_n}$ tendono entrambe a $x_0$ per $k_n \to\infty$, per la continuità per successioni allora le loro immagini tramite $f$ tendono entrambe a $f(x_0)$ per $k_n \to\infty$ e quindi la differenza tra le loro immagini tende a $0$ per $k_n \to\infty$.

[SteezyMenchi]

Grazie mille Mephlip, la definizione di continuità per successioni mi era sfuggita. Molto chiaro e preciso come sempre
P.S. ho aggiustato i due indici sbagliati, scusate non me ne ero accorto proprio