Unicita`soluzioni equazioni a variabili separabili

[lucia131]

Ciao! Un esercizio mi chiede di dimostrare la proprieta` seguente, senza fare ricorso al teorema di unicita` locale di Cauchy: consideriamo un'equazione a variabili separabili \[ \displaystyle y'=a(x) b(y) \] con $a$ continua in un intervallo $I$ e $b$ derivabile con derivata prima continua in un intervallo $J$.
Devo dimostrare che se due soluzioni $ y_1$ e $ y_2 $ passano per uno stesso punto $(x_0, y_0)$, allora coincidono.
Come suggerimento, mi si dice di porre $y=y_1-y_2$ e dimostrare che $y$ e` soluzione dell'equazione $ y'=f(x) y$, dove \[ \displaystyle f(x)=a(x) \frac{b(y_1)-b(y_2)}{y_1-y_2} \] quando $ y_1 \ne y_2$, mentre $f(x)=a(x) b'(y_1) $ quando $ y_1 = y_2$.
Credo di dover mostrare che $f$ sia continua; per farlo ho provato ad utilizzare de l'Hopital ma non riesco ad uscire dalla forma di indecisione... Qualcuno puo` aiutarmi?
Grazie!
Lucia

[Rigel1]

Poiché \(b\in C^1(J)\), la funzione
\[
h(y_1, y_2) := \begin{cases}
\frac{b(y_1) - b(y_2)}{y_1 - y_2}, & \text{se}\ y_1\neq y_2,\\
b'(y_1), & \text{se}\ y_1 = y_2,
\end{cases}
\]
è continua in \(\mathbb{R}^2\) (basta ricordarsi la definizione di derivata).
Di conseguenza, se \(y_1\) e \(y_2\) sono funzioni continue, allora anche la funzione composta \(f(x) := h(y_1(x), y_2(x))\) è continua.