Unicità soluzione eq. Bessel in serie di potenze
Ciao, amici!
Per dimostrare che i multipli delle funzioni di Bessel \(J_v(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!} x^{2n+v}\) sono le uniche serie di potenze centrate in 0 che risolvono l'equazione di Bessel \(x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-v^2)y(x)=0\) il mio libro di analisi, cercando le soluzioni nella forma \(y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\), mostra che, derivando opportunamente \(\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\) e moltiplicandolo per $x$ in un caso e $x^2$ nell'altro, i coefficienti dei termini della serie devono soddisfare le uguaglianze
\[ c_0=0\text{ }, \text{ }(v^2-1)c_1=0\text{ }, \text{ }(n^2-v^2)c_n=-c_{n-2} \]
Per cui è facile vedere che fino a $v-1$ i coefficienti sono nulli (così come anche tutti i $c_{2n+v-1}$), $c_v$ è arbitrario e, per ogni $n>v$
\[c_n=-\frac{c_{n-2}}{n^2-v^2}\]
che può essere riscritto come \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\). E fin qui tutto chiarissimo. Il libro aggiunge che quest'ultima relazione è la stessa che intercorre tra i coefficienti di \(J_v(x)\)
\[\frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!}\]
però non so dove sbaglio se dico che il coefficiente della (2(n+1)+v)-esima potenza di $x$ nella serie di Bessel è \[c_{2(n+1)+v}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2(n+1)+v}(n+1)!(v+n+1)!}\]
\[=\frac{-1}{4(n+1)(v+n+1)} ·\frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!} = -\frac{c_{2n+v}}{4(n+1)(v+n+1)} \neq -\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\]
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano a capire dove sbaglio?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Per dimostrare che i multipli delle funzioni di Bessel \(J_v(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!} x^{2n+v}\) sono le uniche serie di potenze centrate in 0 che risolvono l'equazione di Bessel \(x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-v^2)y(x)=0\) il mio libro di analisi, cercando le soluzioni nella forma \(y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\), mostra che, derivando opportunamente \(\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\) e moltiplicandolo per $x$ in un caso e $x^2$ nell'altro, i coefficienti dei termini della serie devono soddisfare le uguaglianze
\[ c_0=0\text{ }, \text{ }(v^2-1)c_1=0\text{ }, \text{ }(n^2-v^2)c_n=-c_{n-2} \]
Per cui è facile vedere che fino a $v-1$ i coefficienti sono nulli (così come anche tutti i $c_{2n+v-1}$), $c_v$ è arbitrario e, per ogni $n>v$
\[c_n=-\frac{c_{n-2}}{n^2-v^2}\]
che può essere riscritto come \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\). E fin qui tutto chiarissimo. Il libro aggiunge che quest'ultima relazione è la stessa che intercorre tra i coefficienti di \(J_v(x)\)
\[\frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!}\]
però non so dove sbaglio se dico che il coefficiente della (2(n+1)+v)-esima potenza di $x$ nella serie di Bessel è \[c_{2(n+1)+v}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2(n+1)+v}(n+1)!(v+n+1)!}\]
\[=\frac{-1}{4(n+1)(v+n+1)} ·\frac{(-1)^n}{2^{2n+v}n!(v+n)!} = -\frac{c_{2n+v}}{4(n+1)(v+n+1)} \neq -\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\]
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano a capire dove sbaglio?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
\(E\upsilon'\rho\eta\kappa\alpha\), credo (e soprattutto spero)... Mi sono accorto che (chiamando $k$ gli indici della serie di Bessel \(J_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2^{2k+v}k!(v+k)!} x^{2k+v}\) e $n$ gli indici della serie trovata come soluzione e tale che \(c_{n+2}=-\frac{c_{n}}{n^2-v^2}\) ), se $k$ è tale che $2k+v=2n$, allora
$-1/{4(k+1)(v+k+1)} =-1/{(2n+2-v)(2n+2+v)}$.
Quindi direi che $c_{2k+2+v}= -c_{2k+v}/{4(k+1)(v+k+1)} <=> c_{2n+2}=-c_{2n}/{(2n+2-v)(2n+2+v)}$
che, se non avessi sbagliato nulla, proverebbe la tesi del libro*...
Dopotutto, ponendo $c_{2n+2+v}= -c_{2n+v}/{(2n+2+v)^2-v^2}= -c_{2n+v}/{4(n+1)(v+n+1)}$ il risultato direi che sarebbe stato immediato...
Ciao e $+oo$ grazie a chi confermerà o smentirà quanto ho scritto!!!
*Però non mi sembra affatto appropriato dire che \(c_n=-\frac{c_{n-2}}{n^2-v^2}\) possa essere riscritto come \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\), ma piuttosto che \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2+v)^2-v^2}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2+2v)(2n+2)}\)... Quindi concluderei che mi stavo scervellando da ieri sera per un refuso del libro...
$-1/{4(k+1)(v+k+1)} =-1/{(2n+2-v)(2n+2+v)}$.
Quindi direi che $c_{2k+2+v}= -c_{2k+v}/{4(k+1)(v+k+1)} <=> c_{2n+2}=-c_{2n}/{(2n+2-v)(2n+2+v)}$
che, se non avessi sbagliato nulla, proverebbe la tesi del libro*...
Dopotutto, ponendo $c_{2n+2+v}= -c_{2n+v}/{(2n+2+v)^2-v^2}= -c_{2n+v}/{4(n+1)(v+n+1)}$ il risultato direi che sarebbe stato immediato...
Ciao e $+oo$ grazie a chi confermerà o smentirà quanto ho scritto!!!
*Però non mi sembra affatto appropriato dire che \(c_n=-\frac{c_{n-2}}{n^2-v^2}\) possa essere riscritto come \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2-v)(2n+2+v)}\), ma piuttosto che \(c_{2n+2+v}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2+v)^2-v^2}=-\frac{c_{2n+v}}{(2n+2+2v)(2n+2)}\)... Quindi concluderei che mi stavo scervellando da ieri sera per un refuso del libro...
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