Unicità soluzione di una particolare equazione

[Silente]

Ho la seguente equazione:

\(\displaystyle \beta(x)=p\cdot\beta(x+1)+q\cdot\beta(x-1) \)

da risolvere per la funzione \(\displaystyle \beta:(A,B)\subset\mathbb{R}\to [0,1] \), dove A<0, B>0, p e q \(\displaystyle \in (0,1) \) con \(\displaystyle p\neq q \).
Alla soluzione vanno imposte le seguenti condizioni: \(\displaystyle \beta(A)=0 \) e \(\displaystyle \beta(B)=1 \).

Una soluzione al problema è certamente questa:

\(\displaystyle \beta(x)=\frac{(q/p)^x-(q/p)^A}{(q/p)^B-(q/p)^A} \)

Come potrei dimostrare che è l'unica possibile?

[apatriarca]

Il problema mi sembra incompleto/mal posto. La definizione accede a valori sia precedenti che successivi ad ogni punto del dominio. Stai piuttosto richiedendo che la definizione sia la seguente?
\[
\beta(x) =
\begin{cases}
0 & x \leq A \\
p\,\beta(x + 1) + q\,\beta(x - 1) & A < x < B \\
1 & x \geq B
\end{cases}
\]

[apatriarca]

Come sei arrivato a tale soluzione?

[Silente]

"apatriarca":La definizione accede a valori sia precedenti che successivi ad ogni punto del dominio

Si, è vero, infatti è l'imposizione di una sorta di prolungamento per continuità ai due punti estremi.

"apatriarca":Come sei arrivato a tale soluzione?

Non ci sono arrivato io, ma l'autore del libro che sto leggendo (Shiryayev, Probability). Comunque si nota prima che sia la costante \(\displaystyle \beta_1(x)=a \) che la funzione \(\displaystyle \beta_2(x)=b\cdot (p/q)^x \) sono soluzioni. Allora si tenta come soluzione la somma e si trovano \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) con le due condizioni al contorno.

PS: dimenticavo di dire che \(\displaystyle p+q=1 \).