Unicità soluzione di $\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$
Ciao, amici! Nonostante non abbia mai studiato nulla di teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, mi sorge una curiosità. Data un'equazione di tipo $$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$$dove $\mathbf{A}$ è un campo vettoriale incognito, vedo che, se $\tilde{\mathbf{A}}$ è una soluzione e $\psi\in C^2(\mathbb{R}^3)$ è un campo scalare, anche $\tilde{\mathbf{A}}+\nabla\psi$ è una soluzione.
A meno di $\nabla\psi$, $\mathbf{A}$ è univocamente determinata da $\mathbf{B}$ o no?
Grazie a tutti!!!
A meno di $\nabla\psi$, $\mathbf{A}$ è univocamente determinata da $\mathbf{B}$ o no?
Grazie a tutti!!!
Risposte
Grazie, Emar!!! La soluzione, quando esiste, sarà unica a meno di un gradiente?
Supponiamo che $A_1$ e $A_2$ siano due soluzioni. Allora \(0 = B - B = \nabla \times A_1 - \nabla \times A_2 = \nabla \times (A_1- A_2)\) Questo ci dice che $A_1 - A_2 = \nabla \phi$ e quindi la soluzione è unica a meno di un gradiente. Questo perché l'operatore rotore è lineare
Grazie ancora! Mmh... Mi stai quindi dicendo che la soluzione di \(\nabla\times A= 0\) deve essere necessariamente un gradiente. Immagino che, per dimostrarlo, servano però strumenti piuttosto sofisticati...
Quando l'ho scritto non c'ho pensato troppo, è una di quelle cose che "si sanno", come il fatto che le funzioni con derivata nulla sono costanti. Però pensandoci non è così immediato.
Chiaramente che \(\nabla \times (\nabla f) = 0\) è banale, diverso è dimostrare che ogni funzione per cui si annulla il rotore è un gradiente.
Preoccupiamoci per un attimo di un problema più semplice.
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) aperto, e sia \(f \in C^1(\Omega,\mathbb{R})\). Ci chiediamo, se \(f \in \ker \nabla\), allora necessariamente $f = c$ per un'opportuna costante?
Il fatto che $\nabla f = 0$ implica che localmente la funzione sia costante, ovvero che per ogni punto $p \in \Omega$ esiste un intorno $U$ di $p$ tale che \(f|_U\) è costante, ovvero $f$ è costante su $U$.
Per concludere che $f$ è costante su tutto $\Omega$, ovvero globalmente , ci servono delle condizioni topologiche sul dominio. In questo caso specifico ci basterà, come sappiamo, che $\Omega$ sia connesso.
Come vedi l'analisi ti da una condizione locale che per estendere globalmente hai bisogno di ipotesi topologiche su \(\Omega\).
La storia si ripete, con qualche modifica, nel tuo caso. Riformuliamo il problema.
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) aperto, e sia \(f \in C^2(\Omega,\mathbb{R}^n)\). Ci chiediamo, se \(f \in \ker (\nabla \times )\), allora necessariamente $f = \nabla \phi$?
Il fatto che il rotore di $f$ si annulli ci dice che localmente $f$ ammette primitiva, ovvero per ogni intorno esiste $\phi$ tale che $\nabla \phi = f$. Come possiamo concludere che questo accade globalmente?
La risposta a questa domanda sta nel lemma di Poincaré, che afferma che se \(\Omega\) è stellato ( o più in generale semplicemente connesso) allora si ha che $f$ ammette primitiva globalmente.
E questo risponde alla tua domanda.
Per quanto riguarda l'implicazione \(\nabla \cdot f = 0 \implies f = \nabla \times A\) c'è un risultato analogo che richiede, se non ricordo male, la forte connessione.
Per riferimenti ti invito (caldamente) a consultare Pagani Salsa Vol. 2, a memoria capitolo 1 e 6.
Tutte queste cose fanno parte della più generale teoria delle forme differenziali e della coomologia di De Rham. Infatti usando le forme e la derivata esterna il tutto diventa più "naturale".
Se vuoi vedere queste cose, che sia allontanano parecchio, dai un occhio al Fulton, "Algebraic Topology" che non ha molti prerequisiti.
Devo scappare, ciao!
Chiaramente che \(\nabla \times (\nabla f) = 0\) è banale, diverso è dimostrare che ogni funzione per cui si annulla il rotore è un gradiente.
Preoccupiamoci per un attimo di un problema più semplice.
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) aperto, e sia \(f \in C^1(\Omega,\mathbb{R})\). Ci chiediamo, se \(f \in \ker \nabla\), allora necessariamente $f = c$ per un'opportuna costante?
Il fatto che $\nabla f = 0$ implica che localmente la funzione sia costante, ovvero che per ogni punto $p \in \Omega$ esiste un intorno $U$ di $p$ tale che \(f|_U\) è costante, ovvero $f$ è costante su $U$.
Per concludere che $f$ è costante su tutto $\Omega$, ovvero globalmente , ci servono delle condizioni topologiche sul dominio. In questo caso specifico ci basterà, come sappiamo, che $\Omega$ sia connesso.
Come vedi l'analisi ti da una condizione locale che per estendere globalmente hai bisogno di ipotesi topologiche su \(\Omega\).
La storia si ripete, con qualche modifica, nel tuo caso. Riformuliamo il problema.
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) aperto, e sia \(f \in C^2(\Omega,\mathbb{R}^n)\). Ci chiediamo, se \(f \in \ker (\nabla \times )\), allora necessariamente $f = \nabla \phi$?
Il fatto che il rotore di $f$ si annulli ci dice che localmente $f$ ammette primitiva, ovvero per ogni intorno esiste $\phi$ tale che $\nabla \phi = f$. Come possiamo concludere che questo accade globalmente?
La risposta a questa domanda sta nel lemma di Poincaré, che afferma che se \(\Omega\) è stellato ( o più in generale semplicemente connesso) allora si ha che $f$ ammette primitiva globalmente.
E questo risponde alla tua domanda.
Per quanto riguarda l'implicazione \(\nabla \cdot f = 0 \implies f = \nabla \times A\) c'è un risultato analogo che richiede, se non ricordo male, la forte connessione.
Per riferimenti ti invito (caldamente) a consultare Pagani Salsa Vol. 2, a memoria capitolo 1 e 6.
Tutte queste cose fanno parte della più generale teoria delle forme differenziali e della coomologia di De Rham. Infatti usando le forme e la derivata esterna il tutto diventa più "naturale".
Se vuoi vedere queste cose, che sia allontanano parecchio, dai un occhio al Fulton, "Algebraic Topology" che non ha molti prerequisiti.
Devo scappare, ciao!
"Emar":Semplice da dimostrare, ma interessantissimo e importantissimo. Grazie!
Il fatto che $ \nabla f = 0 $ implica che localmente la funzione sia costante, ovvero che per ogni punto $ p \in \Omega $ esiste un intorno $ U $ di $ p $ tale che \( f|_U \) è costante, ovvero $ f $ è costante su $ U $.
Per concludere che $ f $ è costante su tutto $ \Omega $, ovvero globalmente , ci servono delle condizioni topologiche sul dominio. In questo caso specifico ci basterà, come sappiamo, che $ \Omega $ sia connesso.
"Emar":Uh, è vero, conservatività e irrotazionalità equivalenti sotto opportune ipotesi per il dominio! Per $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ tale che ogni curva chiusa regolare contenuta in $\Omega$ è la frontiera di una superficie contenuta in $\Omega$ lo dimostra anche il testo che ho usato io nei miei studi di "analisi 2", il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini.
Il fatto che il rotore di $ f $ si annulli ci dice che localmente $ f $ ammette primitiva, ovvero per ogni intorno esiste $ \phi $ tale che $ \nabla \phi = f $. Come possiamo concludere che questo accade globalmente?
La risposta a questa domanda sta nel lemma di Poincaré, che afferma che se \( \Omega \) è stellato ( o più in generale semplicemente connesso) allora si ha che $ f $ ammette primitiva globalmente.
Tuttavia, sento parlare sempre così bene del Pagani-Salsa (questo, vero?) che mi viene voglia di averlo sullo scaffale...
Per quanto riguarda il teorema di Helmholtz, credo di essere riuscito a dimostrarlo a me stesso per un campo \(\boldsymbol{F}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\). Se vale più in generale, sapresti dove posso trovarne una dimostrazione rigorosa e che spieghi quali risultati matematici permettono le eventuali commutazioni tra segni di integrale (mettendo in chiaro che cosa significano gli integrali) e derivata? Purtroppo tutte quelle che trovo in rete commutano $\int$ e $\nabla$ senza spiegare perché ciò è lecito ed introducono la $\delta$ di Dirac senza spiegare che cosa ne renda sensato l'utilizzo in un modo che fa venir voglia di dividere $0$ per $0$...
$\infty$ grazie!
Il Pagani Salsa è questo: http://www.zanichelli.it/ricerca/prodot ... -salsa-001.
Ne è stata fatta una nuova edizione, non so cosa cambi da quella classica. Da non confondere con quella con autore anche Bramanti.
È un ottimo testo ma se sei soddisfatto con i tuoi libri non ne vale la pena, secondo me. Io te l'ho consigliato perché è il primo riferimento che mi è venuto in mente e ha anche quella parte sulla divergenza che non si trova dappertutto.
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Per quanto riguarda la decomposizione di Helmholtz prova a dare un occhio a Salsa, "Equazioni a derivate parziali" paragrafo 3.4.
Ne è stata fatta una nuova edizione, non so cosa cambi da quella classica. Da non confondere con quella con autore anche Bramanti.
È un ottimo testo ma se sei soddisfatto con i tuoi libri non ne vale la pena, secondo me. Io te l'ho consigliato perché è il primo riferimento che mi è venuto in mente e ha anche quella parte sulla divergenza che non si trova dappertutto.
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Per quanto riguarda la decomposizione di Helmholtz prova a dare un occhio a Salsa, "Equazioni a derivate parziali" paragrafo 3.4.
"Emar":Probabilmente non ho ancora gli strumenti per comprenderlo, ma l'autore è una garanzia di rigore! Grazie!!!
Per quanto riguarda la decomposizione di Helmholtz prova a dare un occhio a Salsa, "Equazioni a derivate parziali" paragrafo 3.4.
"DavideGenova":
Probabilmente non ho ancora gli strumenti per comprenderlo
Nah! Non credere. La teoria classica[nota]Con classica intendo quella che non utilizza pesantemente l'analisi funzionale (spazi di Sobolev e compagnia)[/nota] delle equazioni a derivate parziali non è poi così esoterica. Prova a darci un occhio, nel paragrafo dell'ultima edizione italiana trovi la discussione sulla decomposizione di Helmholtz. Non l'ho mai studiata seriamente.
"DavideGenova":
ma l'autore è una garanzia di rigore!
Il professor Salsa è un ottimo matematico e didatta, sa quando si può essere "approssimativi" e lasciarsi guidare dall'intuizione e quando invece formalizzare il tutto.
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