Unicità ed esistenza di un problema di Cauchy

[paolodocet]

Buon pomeriggio a tutti.
Consideriamo il seguente teorema:

Se $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue su un intervallo $I$e $x_0 in I$, allora il seguente problema di Cauchy

\begin{cases} y'(x) + a(x) y(x) = b(x) \\ y(x_0) = y_0. \end{cases}

ammette un'unica soluzione $y(x)$ di classe $C^1$ sull'intervallo $I$.

Ok, tutto chiaro. La mia domanda è questa:
il teorema mi dice solo che che la soluzione, se esiste, è unica, oppure mi dice che la soluzione esiste ed è unica?

Grazie a chi risponderà, buona giornata.

[vict85]

Per il teorema di Peano (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... a_di_Peano) , la soluzione esiste per la continuità di a e b. Immagino che la dimostrazione del teorema dimostri questa cosa in modo alternativo.

[paolodocet]

Quindi mi confermi che esiste ed è unica?

[vict85]

Esiste una soluzione locale per ogni punto e questa è unica. Quindi esiste per prolungamento una soluzione unica su tutto l'intervallo.

[paolodocet]

Perfetto, grazie mille per la tua risposta. Ciao, buona giornata.