Unicità di una funzione
Ciao! Ho un piccolo problemino! L'esercizio recita quanto segue!
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Io ho detto che la funzione è la seguente: $E:p_{n-1} rarr P-n, u |-> int u$ Questa funzione è sicuramente lineare e composta con la $D$ mi restituisce l'identità!
Quello a cui però non so rispondere è il fatto se sia unica o no!
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Io ho detto che la funzione è la seguente: $E:p_{n-1} rarr P-n, u |-> int u$ Questa funzione è sicuramente lineare e composta con la $D$ mi restituisce l'identità!
Quello a cui però non so rispondere è il fatto se sia unica o no!
Risposte
"Ghezzabanda":
Ciao! Ho un piccolo problemino! L'esercizio recita quanto segue!
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Io ho detto che la funzione è la seguente: $E:p_{n-1} rarr P-n, u |-> int u$ Questa funzione è sicuramente lineare e composta con la $D$ mi restituisce l'identità!
Quello a cui però non so rispondere è il fatto se sia unica o no!
rispondo in parte alla domanda
l'idea è buona, ma quello che tu definisci non è una funzione: $int u$ individua infinite funzioni (è la classe di tutte le primitive), quindi non stai univocamente determinando $Eu$ come elemento di $P_n$
puoi "prenderne una", defindendo $Eu$ così: $Eu(x) = int_0^x u(t) dt$
"Fioravante Patrone":
[quote="Ghezzabanda"]Ciao! Ho un piccolo problemino! L'esercizio recita quanto segue!
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Io ho detto che la funzione è la seguente: $E:p_{n-1} rarr P-n, u |-> int u$ Questa funzione è sicuramente lineare e composta con la $D$ mi restituisce l'identità!
Quello a cui però non so rispondere è il fatto se sia unica o no!
rispondo in parte alla domanda
l'idea è buona, ma quello che tu definisci non è una funzione: $int u$ individua infinite funzioni (è la classe di tutte le primitive), quindi non stai univocamente determinando $Eu$ come elemento di $P_n$
puoi "prenderne una", defindendo $Eu$ così: $Eu(x) = int_0^x u(t) dt$[/quote]
Ok e così facendo a quel punto la funzione sarebbe lineare e sarebbe anche l'unica che soddisfa quelle qualità? Come potrei dimostrarlo? mmm
"Ghezzabanda":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="Ghezzabanda"]Ciao! Ho un piccolo problemino! L'esercizio recita quanto segue!
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Io ho detto che la funzione è la seguente: $E:p_{n-1} rarr P-n, u |-> int u$ Questa funzione è sicuramente lineare e composta con la $D$ mi restituisce l'identità!
Quello a cui però non so rispondere è il fatto se sia unica o no!
rispondo in parte alla domanda
l'idea è buona, ma quello che tu definisci non è una funzione: $int u$ individua infinite funzioni (è la classe di tutte le primitive), quindi non stai univocamente determinando $Eu$ come elemento di $P_n$
puoi "prenderne una", defindendo $Eu$ così: $Eu(x) = int_0^x u(t) dt$[/quote]
Ok e così facendo a quel punto la funzione sarebbe lineare e sarebbe anche l'unica che soddisfa quelle qualità? Come potrei dimostrarlo? mmm[/quote]
Nessuno allora mi sa dire se la funzione che soddisfa le qualità richeste è unica e come giustificare tale risposta?
i) Per ogni $u \in P_{n-1}$, $E(u)$ dev'essere una primitiva di $u$. ii) Due primitive di uno stesso $u \in P_{n-1}$ differiscono per una costante additiva.
"DavidHilbert":
i) Per ogni $u \in P_{n-1}$, $E(u)$ dev'essere una primitiva di $u$. ii) Due primitive di uno stesso $u \in P_{n-1}$ differiscono per una costante additiva.
Si, ma se io definisco la funzione così? $Eu(x) = int_0^x u(t) dt$
"Ghezzabanda":
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Quello che sto cercando disperatamente di farti capire è che $E$ non risulta univocamente determinata.
"DavidHilbert":
[quote="Ghezzabanda"]
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Quello che sto cercando disperatamente di farti capire è che $E$ non risulta univocamente determinata.[/quote]
No, bhe non concordo!
Tu dici che deve essere una primitiva! Ok! e che le primitive differiscono di una costante! ok!
Se deve essere una primitiva la funzione in pratica fa l'integrale! ok? Il risultato può differire di una costante, ma la funzione in se è unica! cioé la stessa funzione mi può dare più risultati, ma la funzione non cambia.
"Ghezzabanda":
[quote="DavidHilbert"][quote="Ghezzabanda"]
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Quello che sto cercando disperatamente di farti capire è che $E$ non risulta univocamente determinata.[/quote]
No, bhe non concordo!
Tu dici che deve essere una primitiva! Ok! e che le primitive differiscono di una costante! ok!
Se deve essere una primitiva la funzione in pratica fa l'integrale! ok? Il risultato può differire di una costante, ma la funzione in se è unica! cioé la stessa funzione mi può dare più risultati, ma la funzione non cambia.[/quote]
Prova a derivare $\frac{1}{\cos^{2}(X)}$ e $"tg"^{2}(x)$, è vero che differiscono solo per una costante additiva, ma, almeno la forma della funzione, non è proprio la stessa.
"Tipper":
[quote="Ghezzabanda"][quote="DavidHilbert"][quote="Ghezzabanda"]
Siamo dello spazio vettoriale $P_n$ dei polinomi in $RR$ di grado $<=n$.
è definita la funzione $D$ nel seguente modo: $D:P_n rarr P_{n-1}, u |->u'$.
Chiede di mostrare che esiste una funzione lineare (!!!) $E P_{n-1} rarr P_n$ tale per cui valga che $D @ E=id_{P_{n-1}}.
Inoltre chiede se ne esiste solo una!
Quello che sto cercando disperatamente di farti capire è che $E$ non risulta univocamente determinata.[/quote]
No, bhe non concordo!
Tu dici che deve essere una primitiva! Ok! e che le primitive differiscono di una costante! ok!
Se deve essere una primitiva la funzione in pratica fa l'integrale! ok? Il risultato può differire di una costante, ma la funzione in se è unica! cioé la stessa funzione mi può dare più risultati, ma la funzione non cambia.[/quote]
Prova a derivare $\frac{1}{\cos^{2}(X)}$ e $"tg"^{2}(x)$, è vero che differiscono solo per una costante additiva, ma, almeno la forma della funzione, non è proprio la stessa.[/quote]
Quando io parlo di funzione, intendevo dire la funzione E è unica!
"DavidHilbert":
Quello che sto cercando disperatamente di farti capire è che $E$ non risulta univocamente determinata.
"Ghezzabanda":
No, bhe non concordo! Tu dici che deve essere una primitiva! Ok! e che le primitive differiscono di una costante! ok!
Se deve essere una primitiva la funzione in pratica fa l'integrale! ok? Il risultato può differire di una costante, ma la funzione in se è unica! cioé la stessa funzione mi può dare più risultati, ma la funzione non cambia.
Vaneggiamenti: prendi le funzioni $E_1: P_{n-1} \rarr P_n: u \rarr U$ ed $E_2: P_{n-1} \rarr P_n: u \rarr U + 1$, dove $U$ è la funzione integrale del generico $u \in P_{n-1}$. Evidentemente, $E_1$ ed $E_2$ non sono uguali, e però $D°E_1 = D°E_2 = id_{P_{n-1}}$.
Domanda: ci sono altre applicazioni lineari, oltre alla $E$ che avevo suggerito, che soddisfano le condizioni richieste?
Puoi considerare le seguenti osservazioni, che possono suggerire strade diverse per arrivarci:
- il polinomio nullo dove viene mandato?
- perché non guardi cosa fa una funzione lineare (come ti è richiesto) su una base di $P_{n-1}$?
Puoi considerare le seguenti osservazioni, che possono suggerire strade diverse per arrivarci:
- il polinomio nullo dove viene mandato?
- perché non guardi cosa fa una funzione lineare (come ti è richiesto) su una base di $P_{n-1}$?
"DavidHilbert":
$E_2: P_{n-1} \rarr P_n: u \rarr U + 1$, dove $U$ è la funzione integrale del generico $u \in P_{n-1}$
però questa non è lineare
Ooops... Doveva esserlo?! Be', allora mi rimangio tutto... 
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