Unicità dello zero di un'equazione

[Paolo902]

Problema (Phd, SISSA 2011). Sia \( f \in \mathscr C(\mathbb R)\) tale che
\[
f(0) \ne -2, \qquad \int_0^1 f(x) dx = 0.
\]
Mostrare che \(\exists \varepsilon >0 \) tale che l'equazione
\[
\int_x^1 f(t)dt = 2x
\]
ha un'unica soluzione per \(\vert x \vert <\varepsilon\).

Svolgimento.

Definiamo $G(x):=\int_x^1 f(t)dt - 2x$. Chiaramente $G(0)=0$ per l'ipotesi, dunque la soluzione esiste. Resta da provare che è unica in un intorno sufficientemente piccolo dell'origine. A tal fine, osserviamo che, per il Teorema fondamentale del calcolo, \( G \in \mathscr C^{1}(\mathbb R)\) e
\[
G^{\prime}(x) = -f(x)-2
\]
In particolare, $G^{\prime}(0) \ne 0$ per ipotesi, in particolare ha un segno: per continuità (di $G^{\prime}$) esiste $\epsilon>0$ tale che nella palla di raggio $\epsilon$ (e centro $0$) $G^{\prime}(\cdot)$ ha lo stesso segno di $G^{\prime}(0)$, i.e. $G$ è ivi monotona. Dunque lo zero, in questa palla, è necessariamente unico.

Vi torna? Tutto corretto? Chiedo conferme perché mi pare di averla fatta troppo semplice - vista e considerata anche la fonte. Ringrazio anticipatamente.

[Quinzio]

Non capisco bene il senso dell'esercizio, quindi puoi tranquillamente ignorare il mio post.

Quello che ho capito io è che $f(x)$ deve essere uguale a -2, tranne che nel punto 0.
Morale $f(x)=-2,\ x\in RR-{0},\ f(0)=?$.

Io non ti seguo però quando dici

$G(x)=\int_x^1f(t)dt-2x$

perchè siccome $\int_x^1f(t)dt=2x$ ne segue che $G(x)=0$.
Più avanti però dici che $G$ è monotona. Ma una funzione nulla non è monotona (almeno non lo è strattamente).

[Rigel1]

@Paolo: mi sembra tutto ok (io l'ho fatto esattamente nello stesso modo prima di vedere il tuo spoiler).
@Quinzio: da nessuna parte c'è scritto che deve essere \(f(x) = -2\) tranne che per \(x=0\).

[Paolo902]

Grazie mille, Rigel, per la tua gradita conferma.