Unicità della soluzione di una equazione integrale
Mi trovo di fronte alla seguente equazione integrale per la funzione $I(z')$:
$$j\frac{4\pi}{a}\omega\mu\epsilon E^i(z) \underbrace{=}_{\forall z\in [-L,L]} \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\right]_{z'=-L}^L$$
dove \(\displaystyle a \),\(\displaystyle \omega \),\(\displaystyle \mu \).\(\displaystyle \epsilon \) e $k$ sono numeri reali fissati, \(\displaystyle j \) è l'unità immaginaria e \(\displaystyle E^i(z) \) è una funzione nota che vale \(\displaystyle E_0 = \text{const}\neq 0 \) in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \) ed è invece nulla in \(\displaystyle [-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta] \). Naturalmente \(\displaystyle 0<\Delta < L \).
L'equazione sopra è vera per ogni z nell'intervallo \(\displaystyle [-L,L] \).
Si può notare come \(\displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) verifichi l'equazione in tutti i punti \(\displaystyle z \notin [-\Delta,\Delta] \). Supponendo che si riesca a generalizzare la \(\displaystyle I(z') \) appena trovata in modo tale che essa verifichi l'equazione iniziale anche in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \), si potrebbe concludere che la \(\displaystyle I(z') \) trovata è l'unica soluzione del problema?
Non so se esiste qualche teorema che garantisca questo fatto, chiedo per favore lumi.
Grazie.
$$j\frac{4\pi}{a}\omega\mu\epsilon E^i(z) \underbrace{=}_{\forall z\in [-L,L]} \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\right]_{z'=-L}^L$$
dove \(\displaystyle a \),\(\displaystyle \omega \),\(\displaystyle \mu \).\(\displaystyle \epsilon \) e $k$ sono numeri reali fissati, \(\displaystyle j \) è l'unità immaginaria e \(\displaystyle E^i(z) \) è una funzione nota che vale \(\displaystyle E_0 = \text{const}\neq 0 \) in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \) ed è invece nulla in \(\displaystyle [-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta] \). Naturalmente \(\displaystyle 0<\Delta < L \).
L'equazione sopra è vera per ogni z nell'intervallo \(\displaystyle [-L,L] \).
Si può notare come \(\displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) verifichi l'equazione in tutti i punti \(\displaystyle z \notin [-\Delta,\Delta] \). Supponendo che si riesca a generalizzare la \(\displaystyle I(z') \) appena trovata in modo tale che essa verifichi l'equazione iniziale anche in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \), si potrebbe concludere che la \(\displaystyle I(z') \) trovata è l'unica soluzione del problema?
Non so se esiste qualche teorema che garantisca questo fatto, chiedo per favore lumi.
Grazie.
Risposte
Innanzitutto, non è un’equazione integrale, perché vi compaiono anche derivate… Al massimo, puoi chiamarla equazione integro-differenziale.
Poi, semplifica la notazione: tutti questi apici e queste costanti non aiutano.
“Si può notare come”, no: non si nota affatto. Hai fatto i calcoli?
Perché quella $I(z’)$ lì dovrebbe risolvere l’equazione? Per tutte le funzioni $E^i$? Per tutti i valori delle costanti in gioco? E che legame c’è tra $I_0$ e tutto il resto?
Infine, i termini sembrano “sensibili” ad un’integrazione per parti: hai provato?
Poi, semplifica la notazione: tutti questi apici e queste costanti non aiutano.
“Si può notare come”, no: non si nota affatto. Hai fatto i calcoli?
Perché quella $I(z’)$ lì dovrebbe risolvere l’equazione? Per tutte le funzioni $E^i$? Per tutti i valori delle costanti in gioco? E che legame c’è tra $I_0$ e tutto il resto?
Infine, i termini sembrano “sensibili” ad un’integrazione per parti: hai provato?
"gugo82":
Innanzitutto, non è un’equazione integrale, perché vi compaiono anche derivate… Al massimo, puoi chiamarla equazione integro-differenziale.
E' vero, chiedo scusa.
"gugo82":
Poi, semplifica la notazione: tutti questi apici e queste costanti non aiutano.
\(\displaystyle z \) e \(\displaystyle z' \) sono due variabili diverse, ma che esplorano lo stesso intervallo. Solitamente si indicano così nei problemi di elettrodinamica, ma comunque è solo una notazione.
Il doppio apice che compare in \(\displaystyle I''(z') \) indica invece la derivata seconda di \(\displaystyle I(z') \).
"gugo82":
“Si può notare come”, no: non si nota affatto. Hai fatto i calcoli?
Nei punti \( \displaystyle z\in [-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta] \) ho che \(\displaystyle E^i(z)=0 \), e quindi l'equazione diventa:
$$0 = \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\right]_{z'=-L}^L $$
dove \( \displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) risolve il problema perché annulla la funzione integranda grazie al fattore \( \displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) e anche i termini calcolati in \(\displaystyle z'=L \) e \(\displaystyle z'=-L \), grazie all'annullamento del seno e alla parità del coseno.
"gugo82":
Infine, i termini sembrano “sensibili” ad un’integrazione per parti: hai provato?
E' proprio integrando per parti un'equazione precedente a questa che sono arrivato a questa forma che ho riportato all'inizio.
Quella da cui sono partito era questa:
$$j\omega\mu\epsilon E^i(z)=a\int _{z'=-L}^LI(z') \left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} z'^2}+k^2\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{4\pi \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'$$
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