Unicità della soluzione dell'equazione di continuità con campo di velocità discontinuo

[mdoni]

Salve, sto cercando di provare l'unicità della soluzione della seguente equazione di continuità con campo di velocità discontinuo

\begin{equation}
\begin{cases}
m_t(t,x) + [(-\alpha x + \sigma u^{*}(x) + c) \ m(t,x)]_x = 0 \qquad (t,x) \in [0,T] \times [- X_{max}, X_{max}] \\
m(0,x) = m_0
\end{cases}
\end{equation}

dove

\begin{equation}
u^{*}(x) :=
\begin{cases}
1 &\text{ se } x>x_0 \\
0 &\text{ se } x \frac{1}{2} &\text{ se } x=x_0
\end{cases}
\end{equation}

e dove $T >0, X_{max}>0, \alpha>0, c>0, x_0 >0, \sigma < 0$.

Questo problema corrisponde ad una distribuzione che si accumula attorno al valore $x_0$. In realtà, si vede subito che una soluzione (debole) è data da una certa misura in cui appare una delta di Dirac centrata in $ x_0 $. Ho pensato di utilizzare un risultato di Diperna-Lions, trovato in 'Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces', ma mi sono reso conto che qui le ipotesi non sono completamente soddisfatte. Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie mille

[Rigel1]

I risultati di DiPerna-Lions sono stati estesi, negli ultimi 10 anni, da Ambrosio e collaboratori.
Se vuoi, prova a dare un'occhiata a queste lecture notes.
Probabilmente il risultato che ti serve lo trovi nell'articolo di Ambrosio del 2004 su Inventiones (è citato in bibliografia).