Un'altra simpatica serie a segni alterni.
Ho da dire se converge o meno , al variare di $\alpha \in RR$ , la seguente serie numerica.
$ \sum _ n ( -1)^n /(10n+(n+1)^(\alpha)$ (1)
svolgimento :
Innanzi tutto notiamo che la serie (1) è a segni alterni, pertanto, considero la serie $ \sum _ n 1 /(10n+(n+1)^(\alpha)$ (2) e ne valuto l'assoluta convergenza.
Notiamo anzi tutto che per $\alpha < 1$ la serie (2) è asintoticamente equivalente alla serie (3) $\sum_n ( 1/10 n ) = 1/10 \sum _ n (1/n)$ , pertanto (2) diverge positivamente $=> $ (1) diverge assolutamente $=>$ (1) non converge.
Se $\alpha = 1$ ho da considerare la serie $ \sum _ n ( -1)^n /(11n+1)$. Poniamo $b_n = 1/(11n+1)$.
Notiamo che $b_n >=0$ $AA n \in NN$ , $b_n -> 0$ e $b_n$ è strettamente decrescente.
Sono soddisfatte le ipotesi, dunque, del criterio di Liebnitz e si ha dunque che $(1) $ converge.
Infine, se $\alpha > 1$ , la (1) è asintoticamente equivalente alla serie $ \sum _ n 1/(n+1) ^ (\alpha) $ , che a sua volta è asintoticamente equivalente alla serie (4) $\sum _ n ( 1/n^\alpha)$ che sappiamo convergere per $\alpha >1$.
Pertanto la serie (1) converge assolutamente $=>$ converge per $\alpha > 1$.
Riassumendo :
$\alpha < 1$ la serie non converge.
$\alpha >= 1$ la serie converge.
Notate errori ragazzi? Grazie mille.
$ \sum _ n ( -1)^n /(10n+(n+1)^(\alpha)$ (1)
svolgimento :
Innanzi tutto notiamo che la serie (1) è a segni alterni, pertanto, considero la serie $ \sum _ n 1 /(10n+(n+1)^(\alpha)$ (2) e ne valuto l'assoluta convergenza.
Notiamo anzi tutto che per $\alpha < 1$ la serie (2) è asintoticamente equivalente alla serie (3) $\sum_n ( 1/10 n ) = 1/10 \sum _ n (1/n)$ , pertanto (2) diverge positivamente $=> $ (1) diverge assolutamente $=>$ (1) non converge.
Se $\alpha = 1$ ho da considerare la serie $ \sum _ n ( -1)^n /(11n+1)$. Poniamo $b_n = 1/(11n+1)$.
Notiamo che $b_n >=0$ $AA n \in NN$ , $b_n -> 0$ e $b_n$ è strettamente decrescente.
Sono soddisfatte le ipotesi, dunque, del criterio di Liebnitz e si ha dunque che $(1) $ converge.
Infine, se $\alpha > 1$ , la (1) è asintoticamente equivalente alla serie $ \sum _ n 1/(n+1) ^ (\alpha) $ , che a sua volta è asintoticamente equivalente alla serie (4) $\sum _ n ( 1/n^\alpha)$ che sappiamo convergere per $\alpha >1$.
Pertanto la serie (1) converge assolutamente $=>$ converge per $\alpha > 1$.
Riassumendo :
$\alpha < 1$ la serie non converge.
$\alpha >= 1$ la serie converge.
Notate errori ragazzi? Grazie mille.
Risposte
quando una serie diverge assolutamente non puoi concludere nulla ... la convergenza assoluta implica quella semplice, ma l viceversa non vale.
più semplicemente aplicando Leibniz, ti accorgi che la serie converge smplicemente per $\alpha\le1$ mentre converge assolutamente se $\alpha>1.$
più semplicemente aplicando Leibniz, ti accorgi che la serie converge smplicemente per $\alpha\le1$ mentre converge assolutamente se $\alpha>1.$
Non sono d'accordo, la serie converge per ogni valore di $\alpha$. Hai sempre e comunque una successione* decrescente e infinitesima, quindi...
______________________
[size=85]*parlo di
\[\dfrac{1}{10n+(n+1)^\alpha}\][/size]
______________________
[size=85]*parlo di
\[\dfrac{1}{10n+(n+1)^\alpha}\][/size]
Facciamo chiarezza su di un punto per volta.
Riflettendoci bene, penso che hai ragione Noise.
Il fatto che diverga assolutamente non mi permette di dire nulla.
Infatti un controesempio banale a quanto sostengo è il seguente : $\sum ( -1)^n/n$ , diverge assolutamente ma la serie converge per L.
Avete ragione!.
Il secondo problema è il seguente :
è evidente che la successione $a_n = 1/(10n+(1+n)^(\alpha)$ sia infinitesima per ogni $\alpha$ , ma non mi è altrettanto evidente che sia decrescente sempre. Mi spiego.
Per valutarne la decrescenza farei così. (suppongo $\alpha !=1$ , in quel caso la convergenza è banale).
Considero $f : [0,+\infty[ := I->RR$ definita ponendo $AA x \in I : f(x) = 1/(10x+(x+1)^(\alpha)$. E ne studio la derivata prima, si ha che $AA x \in I : f'(x)= - ( 10+\alpha(x+1)^(\alpha-1))/(10x+(x+1)^(\alpha))^2$.
$f'(x)>=0 <=> -10-\alpha(x+1)^(\alpha-1) >=0 <=>x<= [(-10/(\alpha))^(1/(\alpha-1)) +1]:= \beta$.
Ora è evidente che da $\beta $ in poi , $f'<=0$ e quindi $f$ è decrescente in $[\beta , +\infty[$ e quindi lo è anche $a_n$.
Quindi posto $\nu = min{ n \in NN | n>= \beta}$ si ha che $AA n >= \nu : a_n$ è decrescente.
A questo punto penserei di riscrivere la serie di partenza in questo modo , cioé
$\sum _ ( n=0)^(\nu)(-1)^n/(10n+(n+1)^(\alpha) $$+ \sum_(n=\nu)^(\+infty) (-1)^n/(10n+(n+1)^(\alpha)$.
Il primo addendo è una somma finita e quindi è un numero reale, il secondo addendo converge per Leibniz , in quanto ne abbiamo verificato le ipotesi.
Va bene? O continuo a dire assurdità?
Grazie a tutti.
Riflettendoci bene, penso che hai ragione Noise.
Il fatto che diverga assolutamente non mi permette di dire nulla.
Infatti un controesempio banale a quanto sostengo è il seguente : $\sum ( -1)^n/n$ , diverge assolutamente ma la serie converge per L.
Avete ragione!.
Il secondo problema è il seguente :
è evidente che la successione $a_n = 1/(10n+(1+n)^(\alpha)$ sia infinitesima per ogni $\alpha$ , ma non mi è altrettanto evidente che sia decrescente sempre. Mi spiego.
Per valutarne la decrescenza farei così. (suppongo $\alpha !=1$ , in quel caso la convergenza è banale).
Considero $f : [0,+\infty[ := I->RR$ definita ponendo $AA x \in I : f(x) = 1/(10x+(x+1)^(\alpha)$. E ne studio la derivata prima, si ha che $AA x \in I : f'(x)= - ( 10+\alpha(x+1)^(\alpha-1))/(10x+(x+1)^(\alpha))^2$.
$f'(x)>=0 <=> -10-\alpha(x+1)^(\alpha-1) >=0 <=>x<= [(-10/(\alpha))^(1/(\alpha-1)) +1]:= \beta$.
Ora è evidente che da $\beta $ in poi , $f'<=0$ e quindi $f$ è decrescente in $[\beta , +\infty[$ e quindi lo è anche $a_n$.
Quindi posto $\nu = min{ n \in NN | n>= \beta}$ si ha che $AA n >= \nu : a_n$ è decrescente.
A questo punto penserei di riscrivere la serie di partenza in questo modo , cioé
$\sum _ ( n=0)^(\nu)(-1)^n/(10n+(n+1)^(\alpha) $$+ \sum_(n=\nu)^(\+infty) (-1)^n/(10n+(n+1)^(\alpha)$.
Il primo addendo è una somma finita e quindi è un numero reale, il secondo addendo converge per Leibniz , in quanto ne abbiamo verificato le ipotesi.
Va bene? O continuo a dire assurdità?
Grazie a tutti.
Francè, quanto a spezzare la serie, lo trovo inutile: sai che due serie ottenute alterando l'una dall'altra alterando un numero finito di termini si comportano allo stesso modo, quindi... 
Se il fatto che $a_n$ sia decrescente per ogni valore di $\alpha$ non ti è così evidente, allora ok, dimostralo, ma usare le derivate mi pare troppo! Per $\alpha\ge 0$ penso tu sia convinto a prescindere che $a_n$ decresce. Dopodiché, poniamo per comodità $\beta :=-\alpha>0$. Abbiamo, per ogni $n\in NN$,
\[10(n+1)+\dfrac{1}{(n+2)^\beta}\ge 10(n+1)-1+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\ge 10n+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\]
da cui la $a_{n+1}\le a_n$. Punto.
Personalmente, l'affermazione "$a_n$ decresce per ogni $\alpha$" non l'avrei manco dimostrata: $a_n$ è sempre positiva e tende in ogni caso a $0$; non ci sono seni, coseni e altre robe ballerine di mezzo, quindi $a_n$ andrà verso il valore zero in maniera "ordinata e composta". Ovviamente questo è un ragionamento ourang-outang, ma funziona...
EDIT: avevo fatto un errorino
Se il fatto che $a_n$ sia decrescente per ogni valore di $\alpha$ non ti è così evidente, allora ok, dimostralo, ma usare le derivate mi pare troppo! Per $\alpha\ge 0$ penso tu sia convinto a prescindere che $a_n$ decresce. Dopodiché, poniamo per comodità $\beta :=-\alpha>0$. Abbiamo, per ogni $n\in NN$,
\[10(n+1)+\dfrac{1}{(n+2)^\beta}\ge 10(n+1)-1+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\ge 10n+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\]
da cui la $a_{n+1}\le a_n$. Punto.
Personalmente, l'affermazione "$a_n$ decresce per ogni $\alpha$" non l'avrei manco dimostrata: $a_n$ è sempre positiva e tende in ogni caso a $0$; non ci sono seni, coseni e altre robe ballerine di mezzo, quindi $a_n$ andrà verso il valore zero in maniera "ordinata e composta". Ovviamente questo è un ragionamento ourang-outang, ma funziona...
EDIT: avevo fatto un errorino
grazie peppo!
"Plepp":
Francè, quanto a spezzare la serie, lo trovo inutile: sai che due serie ottenute alterando l'una dall'altra alterando un numero finito di termini si comportano allo stesso modo, quindi...
Se il fatto che $a_n$ sia decrescente per ogni valore di $\alpha$ non ti è così evidente, allora ok, dimostralo, ma usare le derivate mi pare troppo! Per $\alpha\ge 0$ penso tu sia convinto a prescindere che $a_n$ decresce. Dopodiché, poniamo per comodità $\beta :=-\alpha>0$. Abbiamo, per ogni $n\in NN$,
\[10(n+1)+\dfrac{1}{(n+2)^\beta}\ge 10(n+1)+1+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\ge 10n+\dfrac{1}{(n+1)^\beta}\]
da cui la $a_{n+1}\le a_n$. Punto.
Personalmente, l'affermazione "$a_n$ decresce per ogni $\alpha$" non l'avrei manco dimostrata: $a_n$ è sempre positiva e tende in ogni caso a $0$; non ci sono seni, coseni e altre robe ballerine di mezzo, quindi $a_n$ andrà verso il valore zero in maniera "ordinata e composta". Ovviamente questo è un ragionamento ourang-outang, ma funziona...
EDIT: avevo fatto un errorino
non posso semplicemente dire che $a_n$ è il reciproco di una somma di successioni strettamente crescenti
$\Rightarrow$ $a_n$ è strettamente decrescente?
Ho dimostrato proprio questo
si si ok, ma dico, secondo te, all'esame mi basta dire quello che ho scritto prima? 
Beh, credo di sì 
poi dipende anche da quanto è "liberale" il docente
Voglio dire: l'esercizio sta lì per appurare che lo studente sia - minimamente - preparato sull'argomento serie, non per verificare che lo studente sappia fare una dimostrazioncina per induzione
per cui l'affermazione "$a_n$ è decrescente qualunque sia $\alpha$" penso possa essere presa per buona, senza fare troppo i filosofi...
poi dipende anche da quanto è "liberale" il docente Voglio dire: l'esercizio sta lì per appurare che lo studente sia - minimamente - preparato sull'argomento serie, non per verificare che lo studente sappia fare una dimostrazioncina per induzione
per cui l'affermazione "$a_n$ è decrescente qualunque sia $\alpha$" penso possa essere presa per buona, senza fare troppo i filosofi...
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