Una uguaglianza insiemistica

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link per definizioni mancanti. Dato il tvs \(X\) considero un intorno dell'origine \(V\) bilanciato e convesso. Bilanciato nel senso che \(tA\subset A\) per ogni \(t\) del campo t.c. \(|t|\leq 1\). Dato \(x \in X\), l'insieme \(\{x\}\) è compatto quindi limitato: dato un intorno dell'origine \(V\ni 0\) esiste \(s\) tale che \(\{x\}\subset tV\) per ogni \(t>s\), da cui \(V\) è assorbente e \(\mu_{V}(x)\) è ben definito.

Veniamo al dunque: vorrei capire il perché di \(V=\{x \in X\mbox{ t.c. }\mu_{V}(x)<1\}\). Parliamo dalla prima inclusione. Dato \(x\in V\) poiché \(V\) è aperto il libro dice che posso trovare \(t<1\) tale che \(x \in tV\subset V\) quindi \(\mu_{V}(x)<1\). Dato \(y \not \in V\) ho pensato di considerare il segmento \(I=(0,y)\cap V\) t.c. \(x \in I\).

Posso dotare \(I\) della relazione d'ordine \(\leq\), infatti i suoi punti sono della forma \((1-t)x\) con \(t \in (0,\alpha)\) e di una distanza. Esiste \(\tilde{y}\in I\) t.c. \(x<\tilde{y}<\sup I\). Prendo \(\delta=d(0,x)/d(0,\tilde{y})<1\) allora \(x \in \delta A\). Uso l'apertura di \(V\) supponendo che \(I\) sia un segmento della forma \((0,x_{1})\) quindi diverso da \((0,x]\). Non ho ancora verificato che il tutto sia corretto.

L'inclusione inversa proprio non l'ho capita. Dato \(x \in X\) t.c. \(\mu_{V}(x)<1\) allora voglio che segua \(x \in V\), oppure analogamente dato \(x \not \in V\) voglio che segua \(\mu_{V}(x)\geq 1\). Se \(x \not \in V\) e \(x \in t V\) allora se \(t=1\) vale \(x \in tV\subset V\) da cui \(\mu_{V}(x)>1\) che non va bene. Mi è sfuggito qualcosa di macroscopico?

Edit: forse così non si capisce tanto. Teorema \(\mbox{1.36}\) link. Il funzionale di Minkowski va definito su insiemi assorbenti, descritti nell'altro thread. Nell'enunciato di \(\mbox{1.36}\) manca l'assorbenza quindi ho pensato che si potesse dedurre dalla altre ipotesi. In un tvs un insieme compatto è limitato da cui segue l'assorbenza per generico intorno dello zero, se non sbaglio.

Per il primo punto dell'inclusione ho preso una segmento aperto che parte dell'origine fino ad uscire da \(V\). Nella sua intersezione con \(V\) ho supposto che formi ancora un intervallo aperto, siccome \(V\) è aperto. In questo modo posso restringere questo nuovo intervallo in un altro che ancora contiene \(x\).

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Dimenticate tutte le sciocchezze che ho scritto nel primo post. Si tratta di 1.36 Functional Analysis - Rudin. Riscrivo:

\(V\) è un aperto dell'origine (convesso) e bilanciato. Mostra che dato \(x \in V\) vale \(x \in tV\) con qualche \(t<1\). Siamo in un tvs quindi l'applicazione \(1x=x\) è continua: esiste \(r>0\) e \(U\ni x\) t.c. \(\beta U\subset V\) se \(|\beta-1|

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