Una trasformazione lineare elementare...

[DavideGenova1]

Sto cercando di seguire la dimostrazione fornita da F. Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space sul fatto che la misura esterna \(\mu^{\ast}\) (quella la cui restrizione agli insiemi misurabili è la misura $n$-dimensionale di Lebesgue, per intenderci) è tale che, per ogni \(A\subset\mathbb{R}^n\) ed ogni operatore lineare \(T\in\text{End}(\mathbb{R}^n)\), $$\mu^{\ast}(T(A))=|\det (T)|\mu^{\ast}(A)$$che il testo dimostra per $A$ aperto.
Ora, se prendiamo \(T:(x_1,x_2,..,x_n)\mapsto (x_1+x_2,x_2,..,x_n)\) e \(A=(0,1)^n\), non vale \(T(A)= (0,2)\times (0,1)^{n-1} \) e \(\mu^{\ast}(T(A))=2\) mentre \(|\det(T)|\mu^{\ast} (A)=1\)?
Probabilmente mi sto rincretinendo...
$\infty$ grazie a tutti!

[gugo82]

Per $n=2$ la mappa trasforma il quadrato $A$ in un parallelogramma, non in un rettangolo!
Infatti:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; path([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1],[0,0]]);
stroke="blue"; path([[0,0],[1,0],[2,1],[1,1],[0,0]]);[/asvg]

[DavideGenova1]

Grazie per la risposta, Gugo!!! La proiezione di $T(A)$ sull'asse delle $x_1$ comprende valori da 0 a 2, ma $T(A)$ non è più il prodotto di intervalli...