Una successione convergetne è limitata?
Buon giorno,
vi pongo una domanda che ho trovato su yahoo answers.
Sarà l'orario, sarà sto raffreddore pazzesco che mi rincretinisce, ma sinceramente non riesco a rispondere a questa domanda.
"Una successione convergente è limitata?"
A naso io direi no, la convergenza è necessaria ma non sufficiente a garantire da sola la limitatezza di una successione
perché potrebbe convergere solo per x che tende ad infinito.
Giusto?
O sto prendendo qualche abbaglio?
Saluti
vi pongo una domanda che ho trovato su yahoo answers.
Sarà l'orario, sarà sto raffreddore pazzesco che mi rincretinisce, ma sinceramente non riesco a rispondere a questa domanda.
"Una successione convergente è limitata?"
A naso io direi no, la convergenza è necessaria ma non sufficiente a garantire da sola la limitatezza di una successione
perché potrebbe convergere solo per x che tende ad infinito.
Giusto?
O sto prendendo qualche abbaglio?
Saluti
Risposte
Ciao,
per il teorema di limitatezza, una successione ${an}$ convergente ad un limite finito $a$ è limitata, ovvero esiste un $K$ tale che $|an| < K$ per ogni $n$.
Però non vale il vice versa, ossia una funzione limitata non è necessariamente convergente, un esempio può essere la successione $an=(-1)^n$, mentre una successione divergente non è mai limitata. Esistono però funzioni non limitate che non sono divergenti: ad esempio la successione $an =(-1)^(n)n$.
per il teorema di limitatezza, una successione ${an}$ convergente ad un limite finito $a$ è limitata, ovvero esiste un $K$ tale che $|an| < K$ per ogni $n$.
Però non vale il vice versa, ossia una funzione limitata non è necessariamente convergente, un esempio può essere la successione $an=(-1)^n$, mentre una successione divergente non è mai limitata. Esistono però funzioni non limitate che non sono divergenti: ad esempio la successione $an =(-1)^(n)n$.
e si mi sa che questo raffreddore è colpevole di tutto!!
una successione convergente è limitata! convergente vuol dire che tende a qualcosa di finito! altrimenti si direbbe divergente!
non è vero il viceversa cioè una successione limitata è convergente!
una successione convergente è limitata! convergente vuol dire che tende a qualcosa di finito! altrimenti si direbbe divergente!
non è vero il viceversa cioè una successione limitata è convergente!
Oops ci siamo accavallati!
Direi che oltre al raffreddore c'è la ruggine, d'altra parte ho fatto gli esami di analisi 7 anni fa 
Mi sa che mi devo rimettere a studiare...
Mi sa che mi devo rimettere a studiare...
"ingframin":Visto che citi il "naso", ti do una risposta nasometrica.
A naso io direi no, la convergenza è necessaria ma non sufficiente a garantire da sola la limitatezza di una successione
perché potrebbe convergere solo per x che tende ad infinito.
Al di là delle definizioni, teoremi, etc. "come mai" una successione t.c. $\lim_{n \to oo} a_n = 7$ è limitata, mentre se ho $\lim_{x \to oo} f(x) = 7$ non lo posso più dire?
Il "trucco" sta nel fatto che, quando si richiede che, dato $\varepsilon$, ci sia $\bar n$ t.c. tutti i termini della successione $a_n$ con $n > \bar n$ distino da $7$ meno di $\varepsilon$, si ha un interessante sottoptodotto: i termini "lasciati fuori" da questa condizione (ovvero quelli corrispondenti ad $n \le \bar n$) sono in numero finito. Questo fatto ci permette di dedurre che una successione convergente è limitata.
Se hai una funzione, invece, di $x$ che non soddisfano la condizione $7 - \varepsilon < f(x) < 7 + \varepsilon$ ce ne sono infiniti. E quindi non è scontato che si possano "imbrigliare".
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