Una succesione parametrica si comporta in un modo sui parametri razionali. Come si comporta su quelli reali?
Sia \( \alpha\in \mathbb R \), \( \alpha > 0 \) un parametro reale. Sia
\[
x_n = \frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\alpha - 1}}
\] per ogni \( n\in \mathbb N \). (In realtà può essere quello che volete, ma con questo esempio è ben chiaro quello che ho intenzione di chiedere).
Vorrei provare il più possibile con le mani che
\[
\lim_{n\in \mathbb N} x_n = \begin{cases}+\infty & \text{se $ \alpha < 2 $}\\ 4 & \text{se $ \alpha = 2 $}\\0 & \text{se $ \alpha > 2 $}\end{cases}
\] ma mi blocco.
Fino ad ora ho dimostrato che 1) la cosa è vera per \( \alpha \) intero; 2) la cosa è vera per gli \( \alpha \) razionali minori di \( 2 \) e tali che \( \lfloor\alpha\rfloor > 3 \), usando il teorema dei carabinieri e stime con \( \lfloor \alpha\rfloor \).
Oltre a completare la dimostrazione nel caso razionale (ammesso che sia vero il mio claim, dato che l'ho preso da un pdf; di nuovo, non che mi interessi molto ma se mi date un hint vabbene), vorrei utilizzare un argomento di densità per estendere la cosa a tutti gli \( \alpha \) reali positivi. Si può fare? Come?
\[
x_n = \frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\alpha - 1}}
\] per ogni \( n\in \mathbb N \). (In realtà può essere quello che volete, ma con questo esempio è ben chiaro quello che ho intenzione di chiedere).
Vorrei provare il più possibile con le mani che
\[
\lim_{n\in \mathbb N} x_n = \begin{cases}+\infty & \text{se $ \alpha < 2 $}\\ 4 & \text{se $ \alpha = 2 $}\\0 & \text{se $ \alpha > 2 $}\end{cases}
\] ma mi blocco.
Fino ad ora ho dimostrato che 1) la cosa è vera per \( \alpha \) intero; 2) la cosa è vera per gli \( \alpha \) razionali minori di \( 2 \) e tali che \( \lfloor\alpha\rfloor > 3 \), usando il teorema dei carabinieri e stime con \( \lfloor \alpha\rfloor \).
Oltre a completare la dimostrazione nel caso razionale (ammesso che sia vero il mio claim, dato che l'ho preso da un pdf; di nuovo, non che mi interessi molto ma se mi date un hint vabbene), vorrei utilizzare un argomento di densità per estendere la cosa a tutti gli \( \alpha \) reali positivi. Si può fare? Come?
Risposte
Nel caso in questione, ti conviene espandere secondo Taylor il denominatore;
\[
(n+1)^{\alpha -1} = n^{\alpha-1}(1+\frac{\alpha-1}{n} +\ldots).\]
Se però vuoi discutere sulla possibilità di estendere il risultato da \(\alpha\) razionale ad \(\alpha\) reale, il concetto da usare è quello di convergenza uniforme. Ma l'esempio che hai preso non è il migliore per discutere di questo concetto, perché per \(\alpha <2\) il limite è infinito e questo complica le cose. Ho iniziato a scrivere una risposta per poi accorgermi che, a causa di questo limite infinito, essa ha una falla, ma la lascio scritta ugualmente perché forse ti può interessare.
Cambio un po' la notazione;
\[
x_\alpha(n):=\frac{2(2n+1)}{(n+1)^\alpha}.
\]
Si può fare se
\[
\sup_{n\in \mathbb N} \lvert x_\alpha(n)-x_{\alpha_0}(n)\rvert \to 0, \]
quando \(\alpha\to \alpha_0\) e \(\alpha_0\) è razionale. (In termini di analisi funzionale questo significa che la mappa \(\alpha\to x_\alpha\), di \(\mathbb R\) in \(\ell^\infty\), è continua sui razionali).
Dimostrazione: denotando \(x_\alpha(\infty)\) il limite congetturato,
\[
\lvert x_\alpha(n) -x_\alpha(\infty)\rvert \le \lvert x_\alpha(n)-x_{\alpha_0}(n)\rvert +\lvert x_{\alpha_0}(n)-x_{\alpha_0}(\infty)\rvert + \lvert x_{\alpha_0}(\infty)-x_{\alpha}(\infty)\rvert.\]
Il termine di mezzo è piccolo per \(n\) sufficientemente grande, perché \(\alpha_0\) è razionale, gli altri due sono piccoli per \(\alpha\) sufficientemente vicino ad \(\alpha_0\). ATTENZIONE! Questo vale per \(\alpha>2\); se \(\alpha < 2\) abbiamo che \(x_\alpha(\infty)=\infty\) e quindi bisognerebbe andare a vedere bene cosa succede.
\[
(n+1)^{\alpha -1} = n^{\alpha-1}(1+\frac{\alpha-1}{n} +\ldots).\]
Se però vuoi discutere sulla possibilità di estendere il risultato da \(\alpha\) razionale ad \(\alpha\) reale, il concetto da usare è quello di convergenza uniforme. Ma l'esempio che hai preso non è il migliore per discutere di questo concetto, perché per \(\alpha <2\) il limite è infinito e questo complica le cose. Ho iniziato a scrivere una risposta per poi accorgermi che, a causa di questo limite infinito, essa ha una falla, ma la lascio scritta ugualmente perché forse ti può interessare.
Cambio un po' la notazione;
\[
x_\alpha(n):=\frac{2(2n+1)}{(n+1)^\alpha}.
\]
"marco2132k":
estendere la cosa a tutti gli \( \alpha \) reali positivi. Si può fare? Come?
Si può fare se
\[
\sup_{n\in \mathbb N} \lvert x_\alpha(n)-x_{\alpha_0}(n)\rvert \to 0, \]
quando \(\alpha\to \alpha_0\) e \(\alpha_0\) è razionale. (In termini di analisi funzionale questo significa che la mappa \(\alpha\to x_\alpha\), di \(\mathbb R\) in \(\ell^\infty\), è continua sui razionali).
Dimostrazione: denotando \(x_\alpha(\infty)\) il limite congetturato,
\[
\lvert x_\alpha(n) -x_\alpha(\infty)\rvert \le \lvert x_\alpha(n)-x_{\alpha_0}(n)\rvert +\lvert x_{\alpha_0}(n)-x_{\alpha_0}(\infty)\rvert + \lvert x_{\alpha_0}(\infty)-x_{\alpha}(\infty)\rvert.\]
Il termine di mezzo è piccolo per \(n\) sufficientemente grande, perché \(\alpha_0\) è razionale, gli altri due sono piccoli per \(\alpha\) sufficientemente vicino ad \(\alpha_0\). ATTENZIONE! Questo vale per \(\alpha>2\); se \(\alpha < 2\) abbiamo che \(x_\alpha(\infty)=\infty\) e quindi bisognerebbe andare a vedere bene cosa succede.
\( \newcommand{\floor}[1]{\lfloor{#1}\rfloor} \)
Ho un paio di domande.
Prima. Per dimostrare che esiste il limite della successione sugli \( \alpha \) razionali io ho fatto così. Dopo aver dimostrato che quelle condizioni si verificano per gli \( \alpha \) interi, ho notato che
\[
\frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\floor{\alpha}}}\leqq x_\alpha(n) < \frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\floor{\alpha} - 1}}
\] per ogni \( n\in \mathbb N \), e quindi che 1) se \( \alpha < 2 \) ho ancora \( x_\alpha\to+\infty \); 2) se \( \alpha > 2 \) mi conviene dividere tre casi, e cioè \( \alpha > 4 \), dove vinco con le due stime precedenti, e \( 2 < \alpha < 3 \), dove quello che ho scritto prima mi dice solo che, se il limite esiste, sta in \( \left]4,+\infty\right[ \), e \( 3 \leqq \alpha < 4 \), dove vale una cosa simile. (Non so se ho riportato esattamente gli intervalli dove \( \alpha \) deve stare, ma ci capiamo). Questa cosa mi dà fastidio: come faccio a finire senza usare Taylor?
Seconda. La tua risposta mi mostra che, se il limite di \( x_\alpha \) c'è, allora valgono quelle condizioni che ho scritto nell'OP (a parte per il caso \( \alpha < 2 \) che dopo provo a fare). Ma non mi dimostra che se esiste il limite per gli \( \alpha \) razionali, allora esiste anche per per gli \( \alpha \) reali. Giusto?
Terza. Non è così semplice provare che \( \alpha\mapsto x_\alpha \) è continua, giusto? Non avrei idea nemmeno di come iniziare
In caso, c'è un modo dimostrare l'esistenza del suddetto limite quando \( \alpha\in \mathbb R \) sapendo che esiste quando \( \alpha\in \mathbb Q \)?
"dissonance":Cercavo una cosa del genere. Grazie!
la lascio scritta ugualmente perché forse ti può interessare.
Ho un paio di domande.
Prima. Per dimostrare che esiste il limite della successione sugli \( \alpha \) razionali io ho fatto così. Dopo aver dimostrato che quelle condizioni si verificano per gli \( \alpha \) interi, ho notato che
\[
\frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\floor{\alpha}}}\leqq x_\alpha(n) < \frac{2(2n + 1)}{{(n + 1)}^{\floor{\alpha} - 1}}
\] per ogni \( n\in \mathbb N \), e quindi che 1) se \( \alpha < 2 \) ho ancora \( x_\alpha\to+\infty \); 2) se \( \alpha > 2 \) mi conviene dividere tre casi, e cioè \( \alpha > 4 \), dove vinco con le due stime precedenti, e \( 2 < \alpha < 3 \), dove quello che ho scritto prima mi dice solo che, se il limite esiste, sta in \( \left]4,+\infty\right[ \), e \( 3 \leqq \alpha < 4 \), dove vale una cosa simile. (Non so se ho riportato esattamente gli intervalli dove \( \alpha \) deve stare, ma ci capiamo). Questa cosa mi dà fastidio: come faccio a finire senza usare Taylor?
Seconda. La tua risposta mi mostra che, se il limite di \( x_\alpha \) c'è, allora valgono quelle condizioni che ho scritto nell'OP (a parte per il caso \( \alpha < 2 \) che dopo provo a fare). Ma non mi dimostra che se esiste il limite per gli \( \alpha \) razionali, allora esiste anche per per gli \( \alpha \) reali. Giusto?
Terza. Non è così semplice provare che \( \alpha\mapsto x_\alpha \) è continua, giusto? Non avrei idea nemmeno di come iniziare
In caso, c'è un modo dimostrare l'esistenza del suddetto limite quando \( \alpha\in \mathbb R \) sapendo che esiste quando \( \alpha\in \mathbb Q \)?
Prima: non lo so. Ma perché non usare Taylor?
Seconda: Si intende che la funzione \(\alpha\mapsto x_\alpha(\infty)\) deve essere prolungabile per continuità dai razionali ai reali. Con questa ipotesi, se il limite esiste per gli \(\alpha_0\) razionali allora esso esiste per ogni \(\alpha\) reale.
Terza: No, è molto più semplice calcolare direttamente il limite!
Seconda: Si intende che la funzione \(\alpha\mapsto x_\alpha(\infty)\) deve essere prolungabile per continuità dai razionali ai reali. Con questa ipotesi, se il limite esiste per gli \(\alpha_0\) razionali allora esso esiste per ogni \(\alpha\) reale.
Terza: No, è molto più semplice calcolare direttamente il limite!
"dissonance":Beh, mi dispiaceva buttare via tutto. Sì ok ci dormo uguale ma...
Prima: non lo so. Ma perché non usare Taylor?
Per il momento non ti chiedo altro, credo, dato che so ancora poco su queste cose oltre alle definizioni. Grazie x2
Prego, anzi grazie a te. Hai posto un buono spunto di riflessione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo