Una soluzione reale

[absurd00]

Come faccio a verificare che x^3 + x + 1 = 0 ha una sola soluzione reale?
E x^3 + bx + c = 0 , con b>0 e c qualsiasi? Grazie

Penso bisogna fare la derivata, ma non ho capito il motivo

[Rigel1]

La funzione $f(x) = x^3+bx+c$, $x\in RR$, è continua (è un polinomio) ed è strettamente monotona crescente, essendo somma delle due funzioni strettamente monotone crescenti $f_1(x) = x^3$ e $f_2(x) = bx+c$ (con $b>0$).
La stretta monotonia ti dice che $f$ può avere al più uno zero (cioè un punto dove si annulla).
Inoltre $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$, e $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.
Per definizione di limite esisteranno $x_1, x_2\in RR$ tale che $f(x_1) < 0$ e $f(x_2) > 0$; essendo $f$ monotona crescente si avrà necessariamente
$x_1 Per il teorema degli zeri, esiste un punto $z\in (x_1,x_2)$ tale che $f(z) = 0$ (e, come già osservato, tale punto è unico).

[absurd00]

ti ringrazio! ho capito perfettamente!