Una serie particolare
Si consideri la serie :
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}\)
a) Dimostrare che la serie converge [facile,almeno credo...]
b) Dimostrare che la somma della serie è :
\(\displaystyle S= \frac{ln(2)}{4}-\frac{\pi}{24}\)
[un tantino più complesso...]
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}\)
a) Dimostrare che la serie converge [facile,almeno credo...]
b) Dimostrare che la somma della serie è :
\(\displaystyle S= \frac{ln(2)}{4}-\frac{\pi}{24}\)
[un tantino più complesso...]
Risposte
Che converge è banale in effetti, in quanto il termine generale è infinitesimo d'ordine $4$.
Per quanto riguarda la somma dovrò pensarci.
Per quanto riguarda la somma dovrò pensarci.
Dunque, sono un po' arrugginito su queste cose di analisi, ma spero di non dire sciocchezze. Anzitutto le condizioni per scambiare integrale e somma mi sembrano verificate (la serie converge assolutamente per $|x|<1$, giusto?). Ora come giustamente ha detto il commento precedente
$\int_0^1\int_0^c\int_0^b\int_0^a x^{4n}dxdadbdc = \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}$
dunque integrando anche l'altro lato, e aiutandosi con Mathematica si scopre che si deve valutare in $x=1$ la funzione
$\Theta(x)=-\frac{1}{24} x^3 \log (x-1)+\frac{1}{24} x^3 \log (x+1)+\frac{1}{12} x^3 \tan ^{-1}(x)+$
$+\frac{1}{8} x^2 \log (x-1)+\frac{1}{8} x^2 \log (x+1)-\frac{1}{8}x^2 \log (x^2+1)+\frac{1}{24} \log (x^2+1)+$
$-\frac{1}{8} x \log (x-1)+\frac{1}{8} x \log (x+1)+\frac{1}{24} \log (x-1)+\frac{1}{24}\log (x+1)-\frac{1}{4} x \tan ^{-1}(x)$
che pero' ha il difetto di non essere definita; poco male, perche' il limite $\lim_{x\to 1}\ \Theta(x)$ invece esiste e vale $\frac{1}{24} (\log (64)-\pi )$...
$\int_0^1\int_0^c\int_0^b\int_0^a x^{4n}dxdadbdc = \frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}$
dunque integrando anche l'altro lato, e aiutandosi con Mathematica si scopre che si deve valutare in $x=1$ la funzione
$\Theta(x)=-\frac{1}{24} x^3 \log (x-1)+\frac{1}{24} x^3 \log (x+1)+\frac{1}{12} x^3 \tan ^{-1}(x)+$
$+\frac{1}{8} x^2 \log (x-1)+\frac{1}{8} x^2 \log (x+1)-\frac{1}{8}x^2 \log (x^2+1)+\frac{1}{24} \log (x^2+1)+$
$-\frac{1}{8} x \log (x-1)+\frac{1}{8} x \log (x+1)+\frac{1}{24} \log (x-1)+\frac{1}{24}\log (x+1)-\frac{1}{4} x \tan ^{-1}(x)$
che pero' ha il difetto di non essere definita; poco male, perche' il limite $\lim_{x\to 1}\ \Theta(x)$ invece esiste e vale $\frac{1}{24} (\log (64)-\pi )$...
@vittorino70: Scusa, ma hai provato a seguire il suggerimento di Seneca prima di spammare altrove?
E perchè non vedo alcun conto qui?
Se desideravi la soluzione bella e pronta, hai sbagliato forum... (Nonostante qualche "grand'uomo" del forum ti abbia già spiattellato tutto in barba al regolamento.)
[xdom="gugo82"]Sposto in Analisi.[/xdom]
E perchè non vedo alcun conto qui?
Se desideravi la soluzione bella e pronta, hai sbagliato forum... (Nonostante qualche "grand'uomo" del forum ti abbia già spiattellato tutto in barba al regolamento.)
[xdom="gugo82"]Sposto in Analisi.[/xdom]
Non pensavo di "spammare". Ho messo la richiesta in "Lo spazio" perché ci vedevo riunito un bel po' dell'intelligenza matematica del Forum 
Tutto qui...
Quanto alla soluzione bella e pronta, non è questa la strada che seguo in generale. Per provartelo ti dico che, dopo la soluzione di Killing, ho avuto la folgorazione
E se avrai la bontà di ripassare da qui a poco ( giusto il tempo di scrivere )potrai leggere il mio procedimento .
P.S.
E meno male che da quando frequento questo Forum ho solo dato risposte...
Tutto qui...
Quanto alla soluzione bella e pronta, non è questa la strada che seguo in generale. Per provartelo ti dico che, dopo la soluzione di Killing, ho avuto la folgorazione
E se avrai la bontà di ripassare da qui a poco ( giusto il tempo di scrivere )potrai leggere il mio procedimento .P.S.
E meno male che da quando frequento questo Forum ho solo dato risposte...
Nonostante qualche "grand'uomo" del forum ti abbia già spiattellato tutto in barba al regolamento.
C'e' una barzelletta su un uomo che va al bar e chiede due caffe', che mi ricorda molto questa situazione; ma non credo di poterla raccontare ne' in pubblico ne' in privato.
Innanzitutto ringrazio Killing_buddha per l'interessante risposta. Dopo di che, anche raccogliendo suggerimenti esterni a questo Forum, ho provato ad agire da solo...
Richiamo allora alcune funzioni particolari come \(\displaystyle \Gamma(z) ,\beta(x,y) \)
\(\displaystyle \Gamma( z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \beta(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\)
Per queste funzioni si ha (n intero positivo):
\(\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)!, \beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \)
Pongo ora :
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)} =\frac{1}{6}\frac{(4n)!\cdot 3!}{(4n+4)!}=\frac{1}{6}\frac{\Gamma(4n+1)\Gamma(4)}{\Gamma(4n+5)}=\frac{1}{6}\beta(4n+1,4)=\frac{1}{6}\int_0^1t^{4n}(1-t)^3dt\)
Pertanto :
\(\displaystyle \sum_0^{+\infty} a_n=\frac{1}{6}\int_0^1(1-t)^3\sum_0^{+\infty}t^{4n}dt=\frac{1}{6}\int_0^1(1-t)^3\frac{1}{1-t^4}dt=\frac{1}{6}\int_0^1\frac{1-2t+t^2}{(1+t)(1+t^2)} dt\)
[approfittando dell'assoluta convergenza già indicata da Killing, ho scambiato sommatoria con integrale]
Esplicitando il facile integrale si ha il risultato voluto....
Grazie a tutti.
Richiamo allora alcune funzioni particolari come \(\displaystyle \Gamma(z) ,\beta(x,y) \)
\(\displaystyle \Gamma( z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \beta(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\)
Per queste funzioni si ha (n intero positivo):
\(\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)!, \beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \)
Pongo ora :
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)} =\frac{1}{6}\frac{(4n)!\cdot 3!}{(4n+4)!}=\frac{1}{6}\frac{\Gamma(4n+1)\Gamma(4)}{\Gamma(4n+5)}=\frac{1}{6}\beta(4n+1,4)=\frac{1}{6}\int_0^1t^{4n}(1-t)^3dt\)
Pertanto :
\(\displaystyle \sum_0^{+\infty} a_n=\frac{1}{6}\int_0^1(1-t)^3\sum_0^{+\infty}t^{4n}dt=\frac{1}{6}\int_0^1(1-t)^3\frac{1}{1-t^4}dt=\frac{1}{6}\int_0^1\frac{1-2t+t^2}{(1+t)(1+t^2)} dt\)
[approfittando dell'assoluta convergenza già indicata da Killing, ho scambiato sommatoria con integrale]
Esplicitando il facile integrale si ha il risultato voluto....
Grazie a tutti.
@vittorino70:
Ah, davvero?
E dire che quella mi sembrava una discussione a due, anzi, quasi un monologo (dato che in quel thread non c'è quasi alcuna traccia di una vera discussione)... Abbiamo due percezioni diverse della cosa, mi sà.
Dato che non posso sapere (né mi interessa) quel che fai tu "in generale", e dato che il regolamento e questo avviso (ultimo punto) parlano chiaro, è arrivato il richiamo.
Confido nel fatto che quanto accaduto non si ripeta più.
@killing_buddha: Sinceramente,
della barzelletta; ti ricordo il regolamento, 1.2-1.5.
Confido nel fatto che ciò non si ripeta.
"vittorino70":
Non pensavo di "spammare". Ho messo la richiesta in "Lo spazio" perché ci vedevo riunito un bel po' dell'intelligenza matematica del Forum
Ah, davvero?
E dire che quella mi sembrava una discussione a due, anzi, quasi un monologo (dato che in quel thread non c'è quasi alcuna traccia di una vera discussione)... Abbiamo due percezioni diverse della cosa, mi sà.
"vittorino70":
Quanto alla soluzione bella e pronta, non è questa la strada che seguo in generale. Per provartelo ti dico che, dopo la soluzione di Killing, ho avuto la folgorazione
P.S.
E meno male che da quando frequento questo Forum ho solo dato risposte...
Dato che non posso sapere (né mi interessa) quel che fai tu "in generale", e dato che il regolamento e questo avviso (ultimo punto) parlano chiaro, è arrivato il richiamo.
Confido nel fatto che quanto accaduto non si ripeta più.
@killing_buddha: Sinceramente,
della barzelletta; ti ricordo il regolamento, 1.2-1.5.Confido nel fatto che ciò non si ripeta.
Ecco i partecipanti alla discussione su "Lo Spazio" :
maurer
garnak-olegovic
Killing_buddha
jellow
ineff
GundfamRX91
maxsiviero
Zilpha
j18beos
Richard-Dedekind
Praticamente il meglio del Forum. Ecco perché ho formulato li la mia richiesta ( che non era poi così scontata...)
A meno che tu non ne faccia una questione di numero di righe scritte da ciascuno degli intervenuti !!! Hai scritto che non ti interessa quello che faccio io in generale. Avresti dovuto, visto che mi hai sostanzialmnete accusato di voler scroccare una soluzione bella e fatta. Invece io te ne ho presentata una sufficientemente articolata da far pensare che cercavo solo qualche conferma e non un certo un procedimento da copiare... Forse non sono io quello che merita un cartellino giallo...
maurer
garnak-olegovic
Killing_buddha
jellow
ineff
GundfamRX91
maxsiviero
Zilpha
j18beos
Richard-Dedekind
Praticamente il meglio del Forum. Ecco perché ho formulato li la mia richiesta ( che non era poi così scontata...)
A meno che tu non ne faccia una questione di numero di righe scritte da ciascuno degli intervenuti !!! Hai scritto che non ti interessa quello che faccio io in generale. Avresti dovuto, visto che mi hai sostanzialmnete accusato di voler scroccare una soluzione bella e fatta. Invece io te ne ho presentata una sufficientemente articolata da far pensare che cercavo solo qualche conferma e non un certo un procedimento da copiare... Forse non sono io quello che merita un cartellino giallo...
[xdom="gugo82"]I post di killing_buddha, maurer e j18eos non attinenti alla presente discussione sono stati spostati in coda al thread di loro pertinenza (qui).[/xdom]
Te l'ho detto: abbiamo percezioni differenti della cosa.
E, come ho già detto, non si invade un thread con richieste riguardanti un altro thread: è una sorta di vandalismo.
Nooo... Fosse così killing_buddha vincerebbe di brutto!
Cercavi conferme?
Bene, allora avresti dovuto almeno accennare al ragionamento che portavi avanti (sempre questo avviso, secondo punto).
A posteriori, e dopo aver "raccolto suggerimenti esterni a questo forum", è facile dire "cercavo conferma".
Ad ogni modo, finiamola qui.
Se hai lamentele da fare, contatta gli amministratori.
"vittorino70":
Ecco i partecipanti alla discussione su "Lo Spazio" :
maurer
garnak-olegovic
Killing_buddha
jellow
ineff
GundfamRX91
maxsiviero
Zilpha
j18beos
Richard-Dedekind
Praticamente il meglio del Forum. Ecco perché ho formulato li la mia richiesta (che non era poi così scontata...)
Te l'ho detto: abbiamo percezioni differenti della cosa.
E, come ho già detto, non si invade un thread con richieste riguardanti un altro thread: è una sorta di vandalismo.
"vittorino70":
A meno che tu non ne faccia una questione di numero di righe scritte da ciascuno degli intervenuti !!!
Nooo... Fosse così killing_buddha vincerebbe di brutto!
"vittorino70":
Hai scritto che non ti interessa quello che faccio io in generale. Avresti dovuto, visto che mi hai sostanzialmnete accusato di voler scroccare una soluzione bella e fatta. Invece io te ne ho presentata una sufficientemente articolata da far pensare che cercavo solo qualche conferma e non un certo un procedimento da copiare...
Cercavi conferme?
Bene, allora avresti dovuto almeno accennare al ragionamento che portavi avanti (sempre questo avviso, secondo punto).
A posteriori, e dopo aver "raccolto suggerimenti esterni a questo forum", è facile dire "cercavo conferma".
Ad ogni modo, finiamola qui.
"vittorino70":
Forse non sono io quello che merita un cartellino giallo...
Se hai lamentele da fare, contatta gli amministratori.
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