Una serie numerica

[Darèios89]

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{n^2(1+nx^2)}[/tex]

Per x=0 converge, per il resto, sono dubbioso su come studiarla, avevo pensato di confrontarla con la serie geometrica, ma mi darà informazioni solo per [tex]-1
Non saprei...

[gugo82]

Prova a pensare al confronto.

Infatti guarda bene il fattore [tex]$\frac{x^2}{1+nx^2}$[/tex]: a me pare che si possa subito dire che esso è, per ogni [tex]$n$[/tex] ed ogni [tex]$x$[/tex], minore di una costante, quindi...

[Darèios89]

Mh.....

Ma costante in generale?

cioè [tex]an

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Segnala

[Relegal]

Non proprio, o meglio: Puoi anche scrivere $a_n Se osservi la quantità che ha evidenziato Gugo, non dovresti faticare a trovare quale possa essere una costante che vada bene. (Tenuto conto del fatto che è $n>1$)

[Darèios89]

Mah...sinceramente non mi viene in mente, l'unica cosa che ho pensato è stata scriverla in fratti semplici per ricondurlo al numero di Nepero, ma non so se c'entra...

[itpareid]

a numeratore hai $x^2$
a denominatore hai la stessa quantità (positiva) moltiplicata per $n$ (positivo) a cui aggiungi $1$
quindi il denominatore è sicuramente maggiore del numeratore per ogni $x$ e per ogni $n$
a te definire $C$...

[pater46]

Guarda bene... hai un fratto in cui il numeratore è sempre minore del denominatore!

$ "NUM" < "DENOM" \to "NUM"/"DENOM" < "..." $ non continuo

[Darèios89]

mh.......0?

[pater46]

Io direi.... [size=59]1[/size]

[Darèios89]

Perchè sarebbe sempre un valore come [tex]0.000[/tex] eccetera, quindi diciamo che è minore di 1 e quindi converge?

[pater46]

No. Tu hai al numeratore una quantità minore del denominatore. Ad esempio... 3/4. Siccome al numeratore 3 è minore del 4 al denominatore io so per certo che quel rapporto darà un numero minore di 1. Eppure 3/4 = 0,75 che non è 0...

[Darèios89]

Vabbè e allora?

E' minore di 1, quindi in questo caso col confronto cosa posso dire, che converge no?

[pater46]

yep, $\forall x $

E, comunque, il "vabbè e allora" non mi sembra una risposta tanto carina dopo che uno cerca di farti capire le cose
La prox volta mi risparmierò la fatica!

[Darèios89]

Scusa, non volevo essere offensivo, a volte non me ne rendo conto, è perchè come ben sai sono duro...di testa. Quindi a volte mi viene di rispondere così quando non ho be afferrato, anche se so che la colpa in realtà è mia che dovrei avere un pò di intuito.

[haterofman]

"Darèios89":[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{n^2(1+nx^2)}[/tex]

Per x=0 converge, per il resto, sono dubbioso su come studiarla, avevo pensato di confrontarla con la serie geometrica, ma mi darà informazioni solo per [tex]-1
Non saprei...

Per x=0 la serie si riduce ad una somma di 0, dunque converge banalmente a 0. Nel caso non banale di $x != 0$ si può utilizzare il criterio degli infinitesimi (questa è una serie a termini positivi):

$lim_(n -> +oo) (n^3*x^2)/(n^2(1+n*x^2)$ = $lim_(n -> +oo) (n^3*x^2)/(n^2+n^3*x^2) = 1 rarr$ la serie converge $AAx in RR$ essendo il termine generale un infinitesimo di ordine tre (ha lo stesso carattere delle serie armonica generalizzata $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3)$).

[gugo82]

@Darèios89: L'idea originale era quella di maggiorare la serie assegnata (che è a termini positivi e perciò è regolare) con una serie numerica convergente possibilmente senza parametri.

Ciò si può fare: infatti è: [tex]$\forall x\in \mathbb{R}$[/tex], [tex]$\forall n\in \mathbb{N}$[/tex],

[tex]$0\leq x^2 \leq 1+x^2\leq 1+nx^2 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq \frac{x^2}{1+nx^2} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad 0\leq \frac{x^2}{n^2(1+nx^2)}\leq \frac{1}{n^2}$[/tex]

e perciò la tua serie si maggiora termine a termine con [tex]$\sum \frac{1}{n^2}$[/tex], la quale converge (poiché armonica generalizzata d'esponente [tex]$2>1$[/tex]).
Ne viene che anche la tua serie di partenza converge, per un noto risultato di confronto.