Una serie numerica
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^3}{n!}[/tex]
E' a termini positivi, potrei applicare il corollario al criterio del rapporto e calcolare il limite:
[tex]\frac{(n+1)^3}{(n+1)!}*\frac{n!}{n^3}[/tex]
Avrei:
[tex]\frac{(n+1)^3}{n^3}*\frac{n!}{(n+1)!}[/tex]
[tex]\left ( \frac{n+1}{n} \right )^3*\frac{n!}{(n+1)!}[/tex]
Ora non mi ricordo come lavorare sulla frazione a destra, dovrei potere semplificare riscrivendo il fattoriale in modo diverso, ma non mi ricordo come....
E' a termini positivi, potrei applicare il corollario al criterio del rapporto e calcolare il limite:
[tex]\frac{(n+1)^3}{(n+1)!}*\frac{n!}{n^3}[/tex]
Avrei:
[tex]\frac{(n+1)^3}{n^3}*\frac{n!}{(n+1)!}[/tex]
[tex]\left ( \frac{n+1}{n} \right )^3*\frac{n!}{(n+1)!}[/tex]
Ora non mi ricordo come lavorare sulla frazione a destra, dovrei potere semplificare riscrivendo il fattoriale in modo diverso, ma non mi ricordo come....
Risposte
$(n+1)! = n! \cdot (n+1)$
Da qui semplifichi e....
Da qui semplifichi e....
Semplifico e poi quella frazione dovrebbe tendere a zero, quella precedente a 1, il prodotto fa 0 quindi la serie converge?
P.S. per definizione il fattoriale è:
[tex]n!= n(n-1)![/tex]
Quindi quello sopra lo avevo pensato come [tex]n(n+1)![/tex]
Quindi il simbolo del fattoriale, detto volgarmente il punto escalamativo, posso metterlo dove mi conviene per le semplificazioni e i calcoli?
P.S. per definizione il fattoriale è:
[tex]n!= n(n-1)![/tex]
Quindi quello sopra lo avevo pensato come [tex]n(n+1)![/tex]
Quindi il simbolo del fattoriale, detto volgarmente il punto escalamativo, posso metterlo dove mi conviene per le semplificazioni e i calcoli?
Ma che vuol dire "posso metterlo dove voglio"?!?
Cos'è il [tex]$!$[/tex], un quadro da piazzare su un muro?
La definizione ricorsiva del fattoriale ti dice che:
(*) [tex]$n! =n\cdot (n-1)! \quad \text{e} \quad 1!=1$[/tex];
quindi, ad esempio, hai:
[tex]$5!=5\cdot 4!=5\cdot4\cdot 3!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2! =5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!= 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$[/tex]
ove, nei passaggi intermedi, hai usato le (*).
Se non ti piace la definizione ricorsiva, c'è quella esplicita, che è la seguente:
(**) [tex]$n!=\prod_{k=1}^n k$[/tex]
la quale identifica il numero [tex]$n!$[/tex] come il prodotto di tutti i numeri naturali [tex]$\leq n$[/tex].
Ora, per quanto riguarda la riscrittura di [tex]$(n+1)!$[/tex], si ha:
- con la definizione ricorsiva: [tex]$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$[/tex] (basta sostituire, nella prima relazione (*), [tex]$n+1$[/tex] ad ogni occorrenza di [tex]$n$[/tex]);
- con la definizione esplicita: [tex]$(n+1)!=\prod_{k=1}^{n+1} k =(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1=(n+1)\cdot \prod_{k=1}^n k=(n+1)\cdot n!$[/tex];
in ogni caso si ottiene la relazione segnalata da pater46.
Cos'è il [tex]$!$[/tex], un quadro da piazzare su un muro?
La definizione ricorsiva del fattoriale ti dice che:
(*) [tex]$n! =n\cdot (n-1)! \quad \text{e} \quad 1!=1$[/tex];
quindi, ad esempio, hai:
[tex]$5!=5\cdot 4!=5\cdot4\cdot 3!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2! =5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!= 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$[/tex]
ove, nei passaggi intermedi, hai usato le (*).
Se non ti piace la definizione ricorsiva, c'è quella esplicita, che è la seguente:
(**) [tex]$n!=\prod_{k=1}^n k$[/tex]
la quale identifica il numero [tex]$n!$[/tex] come il prodotto di tutti i numeri naturali [tex]$\leq n$[/tex].
Ora, per quanto riguarda la riscrittura di [tex]$(n+1)!$[/tex], si ha:
- con la definizione ricorsiva: [tex]$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$[/tex] (basta sostituire, nella prima relazione (*), [tex]$n+1$[/tex] ad ogni occorrenza di [tex]$n$[/tex]);
- con la definizione esplicita: [tex]$(n+1)!=\prod_{k=1}^{n+1} k =(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1=(n+1)\cdot \prod_{k=1}^n k=(n+1)\cdot n!$[/tex];
in ogni caso si ottiene la relazione segnalata da pater46.
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