Una serie notevole

[dissonance]

Come si può dimostrare questa identità: $sum_{k=0}^infty1/(2k+1)^2=pi^2/8$ ? L'autore di un libro che sto leggendo la dà per scontata ma purtroppo a me non risulta affatto tale.

[amel3]

Serie di Fourier (non so se ci sono metodi più semplici).

[ViciousGoblin]

Come dice amel, il metodo che io conosco e' trovare una funzione che abbia $1/(2k+1)^2$ come coefficienti di Fourier.
Mi pare che (CONTROLLA I CALCOLI) se $f(t):=\pi-|t|$, per $-\pi\leq t\leq\pi$ venga fuori
$f(t)=\pi/2+\sum_{k=0}^\infty 4/\pi(2k+1)^2 \cos((2k+1)t)$
e mettendo $t=0$ dovrebbe venire il risultato cercato (ovviamente la serie converge in ogni $t$ per noti teoremi).

Nel corso degli io ho incontrato anche un metodo un po' piu' generale, basato sui residui, che mi pare sia riassunto in questo documento
http://faculty.up.edu/wootton/Complex/Chapter11.pdf
(ho fatto una ricerca in rete e ho dato una veloce occhiata)

[dissonance]

Vi ringrazio per le risposte. Temevo che questa identità facesse parte di un risultato più elementare a me ignoto, ho tirato un sospiro di sollievo a scoprire che non è così .

[MaMo2]

"dissonance":Vi ringrazio per le risposte. Temevo che questa identità facesse parte di un risultato più elementare a me ignoto, ho tirato un sospiro di sollievo a scoprire che non è così .

Il modo più elementare è sfruttare il noto risultato $sum_1^oo 1/k^2=pi^2/6$
La somma dei quadrati dei numeri dispari si può anche scrivere come $sum_1^oo1/k^2-sum_1^oo1/(2k)^2$ per cui si ha $sum_1^oo1/k^2-1/4sum_1^oo1/k^2=3/4sum_1^oo1/k^2=3/4*pi^2/6=pi^2/8$

[ciampax]

"MaMo":
Il modo più elementare è sfruttare il noto risultato $sum_1^oo 1/k^2=pi^2/6$

E questo perché è noto?