Una serie, e una richiesta.

[Darèios89]

La richiesta è: Siccome vorrei fare esercizi su limiti di successioni e limiti in generale(specie trigonometrici e con limiti notevoli) dato che ho fatto una ricerca in internet, volevo chiedervi se avete qualche cosa voi da potere mandare per esercitarmi ancora di più.

La serie..è questa:

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{k^{n+(-1)^n}}{n^2}[/tex]

Dovrei studiare il carattere, mi sembra una serie a segni alterni, non so se è giusto il mio ragionamento però se la scrivo come:

[tex]k^{n+(-1)^n}*\frac{1}{n^2}[/tex]

E' sbagliato considerare la prima come serie gemometrica di ragione k?
E la seconda come serie armonica con alfa =2 ?

La serie armonica converge, l'altra converge per [tex]-1 Potrei dire che la serie di partenza converge per [tex]-1
Anche se mi sembra strano che una serie possa convergere e divergere...

[Glycerine1]

Una serie può tranquillamente convergere e divergere se c'è un parametro di mezzo (nel senso che il comportamento dipende dal parametro!)

Io comincerei a distinguere i casi k negativo e positivo: il primo è a segni alterni, il secondo mica tanto...

[gugo82]

"guitarplaying":La richiesta è: Siccome vorrei fare esercizi su limiti di successioni e limiti in generale(specie trigonometrici e con limiti notevoli) dato che ho fatto una ricerca in internet, volevo chiedervi se avete qualche cosa voi da potere mandare per esercitarmi ancora di più.

Tanto tempo fa, quando ero una matricola, esistevano degli oggetti un po' pericolosi, perchè fatti di materiale infiammabile, ma che erano molto utili per gli studenti: si chiamavano eserciziari, dentro c'erano centinaia di esercizi svolti e non che servivano per prepararsi agli esami.

Ora non vanno più di moda? Forse è perchè sono ancora infiammabili e poco sicuri?

"guitarplaying":La serie..è questa:

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{k^{n+(-1)^n}}{n^2}[/tex]

Dovrei studiare il carattere, mi sembra una serie a segni alterni, non so se è giusto il mio ragionamento però se la scrivo come:

[tex]k^{n+(-1)^n}*\frac{1}{n^2}[/tex]

E' sbagliato considerare la prima come serie gemometrica di ragione k?
E la seconda come serie armonica con alfa =2 ?

La serie armonica converge, l'altra converge per [tex]-1 Potrei dire che la serie di partenza converge per [tex]-1
Anche se mi sembra strano che una serie possa convergere e divergere...

Beh, non dovrebbe sembrarti strano, giacché il carattere della serie dipende da come si sceglie il parametro [tex]$k$[/tex].

Considerarla come serie a segni alterni non si può, almeno per tutti i valori di [tex]$k$[/tex]: infatti gli addendi della serie, se [tex]$k\geq 0$[/tex], sono tutti non negativi.

Di seguito ti riporto un'idea di svolgimento dell'esercizio (visto che non è proprio standard come problema).

Un modo di procedere è notare che l'addendo [tex]$n$[/tex]-esimo della serie assegnata, chiamiamolo [tex]$a_n(k)$[/tex], come detto da te, si rappresenta come prodotto di un termine [tex]$\beta_n =\frac{1}{n^2}$[/tex] e di un altro che possiamo denotare [tex]$b_n(k):=k^{n+(-1)^n}$[/tex], ossia si ha [tex]$a_n(k)=b_n(k)\ \beta_n$[/tex].

Se riuscissimo a trovare qualche valore di [tex]$k$[/tex] tale che la successione [tex]$b_n(k)$[/tex] rimane limitata allora potremmo applicare il teorema di confronto per stabilire che la nostra serie [tex]$\sum a_n(k)$[/tex] converge: infatti supponiamo che esista un [tex]$M(k)>0$[/tex] tale che [tex]$\forall n\in \mathbb{N},\ |b_n(k)|\leq M(K)$[/tex]; in tal caso si ha:

[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n(k)| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} |b_n(k)|\ |\beta_n | \leq M_n(k) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$[/tex]

e la serie all'ultimo membro converge; visto che [tex]$\sum_n |a_n(k)|$[/tex] è a termini positivi e limitata, essa converge e perciò [tex]$\sum_n a_n(k)$[/tex] converge assolutamente.
Tutto molto bello, ma non abbiamo ancora mostrato che [tex]$b_n(k)$[/tex] si mantiene limitata. Ma ciò si può fare come segue: invero distinguendo i casi [tex]$n \text{ pari}$[/tex] ed [tex]$n \text{ dispari}$[/tex] troviamo:

1. [tex]$n=2m+1$[/tex] (dispari): [tex]$b_n(k)=k^{2m+1+(-1)^{2m+1}}=k^{2m}$[/tex]
2. [tex]$n=2m$[/tex] (pari): [tex]$b_n(k)=k^{2m+(-1)^{2m}} =k^{2m+1}$[/tex]

quindi [tex]$b_n(k)$[/tex] è "moralmente" una successione esponenziale di base [tex]$k$[/tex]; una successione di tale genere si mantiene limitata solo se [tex]$|k|\leq 1$[/tex] ed in tal caso si può porre [tex]$M(k)=1$[/tex] per ogni [tex]$k\in [-1,1]$[/tex].

Quindi se [tex]$k\in [-1,1]$[/tex] siamo a posto: la serie assegnata converge assolutamente.
Ma cosa accade se [tex]$k\notin [-1,1]$[/tex]?
Beh, è semplice: visto che le 1 & 2 continuano a valere, si può vedere facilmente che per [tex]$|k|>1$[/tex] la successione degli addendi [tex]$a_n(k)$[/tex] non è infinitesima per [tex]$n\to +\infty$[/tex] (anzi si ha [tex]$\lim_n a_n(k)=+\infty$[/tex] se [tex]$k>1$[/tex] epperò [tex]$-\infty =\liminf_n a_n(k) <\limsup_n a_n(k) =+\infty$[/tex] se [tex]$k<-1$[/tex]), ergo la serie non può convergere perchè non è verificata la condizione necessaria alla convergenza.

Tirando le somme, la tua serie converge assolutamente se [tex]$|k|\leq 1$[/tex] mentre non converge per [tex]$|k|>1$[/tex]; in particolare, diverge positivamente per [tex]$k>1$[/tex] ed è oscillante per [tex]$k<-1$[/tex].

[pater46]

SE hai $k \in \Re $ allora devi studiarti il segno.
E comunque, si, è sbagliato considerare i singoli fattori separatamente...

Potresti cominciare a considerare la serie dei valori assoluti, e cercare di maggiorarla con una serie di cui conosci la convergenza ( ne hai citate due ).

Edit: non avevo visto la risposta del grande gugo ( molto più completa della mia ), che mi ha preceduto

[Darèios89]

Mh, l' analisi di gugo è davvero toga (bella)

Ora un paio di cose, io sapevo per esempio che [tex](-1)^n[/tex] non è dotata di limite ma è limitata(Lo ricordo per vari esercizi che si risolvono con il teorema del limite di una successione limitata per una infinitesima), in generale, mi stai dicendo che vale che una successione è limitata se e solo se [tex]|an|\leq 1[/tex] cioè se:
[tex]-1\leq an \leq 1[/tex]

Poi riguardo la conclusione, hai praticamente verificato la condizione necessaria per la convergenza di una serie, il teorema dice che se il limite vale 0 la serie POTREBBE convergere, se non è un valore finito che diverge sicuramente, piccola precisazione, se ottengo [tex]-\infty[/tex] vuol dire che è oscillante?
Grazie mille.

[gugo82]

Rispondo con ordine:

1) Quella che ho chiamato [tex]$b_n(k)$[/tex] non è una successione qualunque, ma una successione "quasi uguale" a quella esponenziale [tex]$k^n$[/tex], poiché infatti si ha:

[tex]$b_n(k):=\begin{cases} k^{n+1} &\text{, se $n$ è pari} \\ k^{n-1} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex]

(se ci fai caso [tex]$b_n(k)$[/tex] si distingue da [tex]$k^n$[/tex] per il modo in cui si presentano i termini; ad esempio, se [tex]$k=2$[/tex], si ha [tex]$b_0(2)=2$[/tex], [tex]$b_1(2)=1$[/tex], [tex]$b_2(2)=8$[/tex], [tex]$b_3(2)=4$[/tex], [tex]$b_4(2)=32$[/tex], [tex]$b_5(2)=16$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex] mentre la successione esponenziale [tex]$2^n$[/tex] ha [tex]$1$[/tex], [tex]$2$[/tex], [tex]$4$[/tex], [tex]$8$[/tex], [tex]$16$[/tex], [tex]$32$[/tex], [tex]$\ldots$[/tex]).

Una successione di tipo esponenziale è limitata solo se la base [tex]$k$[/tex] è [tex]$\in [-1,1]$[/tex], e questo si vede facilmente (infatti se [tex]$k\notin [-1,1]$[/tex] si può estrarre da [tex]$k^n$[/tex] una successione divergente); pertanto [tex]$b_n(k)$[/tex] è limitata solo se [tex]$k\in [-1,1]$[/tex].
D'altra parte, se prendo [tex]$k\in [-1,1]$[/tex], ho:

[tex]$|b_n(k)|= \begin{cases} |k|^{n+1} &\text{, se $n$ è pari} \\ |k|^{n-1} &\text{, se $n$ è dispari}\end{cases}$[/tex]

e si ha [tex]$|k|\leq 1 \Rightarrow |k|^m\leq 1^m=1$[/tex], quindi [tex]$|b_n(k)|\leq 1$[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
Così ho scoperto che per ogni [tex]$k\in [-1,1]$[/tex] posso usare come maggiorante [tex]$M(k)>0$[/tex] un numero che è indipendente dal paramentro [tex]$k$[/tex] (detto meglio, posso maggiorare [tex]$b_n(k)$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$k$[/tex] in [tex]$[-1,1]$[/tex]), cioè [tex]$M(k)=1$[/tex].

La morale è: non è vero che tutte le successioni limitate le posso maggiorare con [tex]$1$[/tex]; ma è vero che tutte le successioni che ottengo da [tex]$b_n(k)$[/tex] per [tex]$k\in [-1,1]$[/tex] le posso maggiorare in valore assoluto con [tex]$1$[/tex].

2) Esatto; se la successione degli addendi non è infinitesima, non posso avere convergenza.

3) Se il limite degli addendi è [tex]$-\infty$[/tex] ho divergenza negativa.
Nel nostro caso, però, avevamo una situazione un po' particolare: la successione degli addendi aveva massimo limite e minimo limite pari a [tex]$+\infty$[/tex] e [tex]$-\infty$[/tex], con la successione di termini pari [risp. dispari] divergente negativamente [risp. positivamente] e dello stesso ordine... Quindi ho tirato ad indovinare che la serie oscillasse per [tex]$k<-1$[/tex]: sembrava la cosa più probabile!

[Darèios89]

Wow.....e per quanto riguarda gli eserciziari di cui parlavi tu se non erro, io ho il caponetto catania, a parte questo sapresti suggerirmi dei nomi di eserciziari?

[gugo82]

Mai usato, anche se l'ho sentito nominare (credo proprio qui sul foro).

Prova con una ricerca nella sezione Leggiti questo oppure qui in Analisi; dovresti trovare un po' di vecchi thread con indicazioni bibliografiche.

Se non trovi nulla fai un fischio.