Una serie di potenze con un parametro

[IlPolloDiGödel]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in una serie di potenze leggermente meno standard del solito, sulla quale ho un dubbio che non riesco a risolvere. Ve la posto con la mia risoluzione, sperando qualcuno mi dia una certezza.

TESTO
Al variare di $alpha in RR$ sia
$f_(alpha)(x) = sum_(n = 2)^(+infty) n^alpha /(n^2 - 1) x^n$

Stabilire:
a) Il dominio $I_alpha$ di $f_alpha$
b) per quali $alpha$ la convergenza è uniforme su tutto $I_alpha$
c) per quali $alpha$ la convergenza è uniforme su tutto $I_alpha nn (-infty, 0)$
d) per quali $alpha$ si ha $f_alpha$ continua su $I_alpha$
e) per quali $alpha$ si ha $f_alpha in L^1(I_alpha)$

Stabilire infine due polinomi $p$ e $q$ di grado al più 3 tali che $p(x) <= f_2(x)<=q(x)$ per ogni $x in I_2 nn (-infty, 0)$, dedurne il segno di $f_2$ in $I_2$, mostrare che $f_2 in L^1(I_2 nn RR^-)$ e calcolare $int_(I_2 nn (-infty, 0)) f_2$ con un errore inferiore ad $1/4$

Racchiudo i miei svolgimenti tra gli spoiler per non scrivere un papiro

a)

Chiamo $a_n(x) = n^alpha /(n^2 - 1) x^n$
Per il dominio, è ovvio che se $|x| >1$, $a_n(x)$ diverge ad infinito, quindi non può esserci convergenza della serie, mentre per $x in (-1,1)$ la serie converge $AA alpha$ (si può anche dire che il raggio della serie di potenze è 1). Se $x=1$ allora $a_n(x) = n^alpha/(n^2 - 1)$ e quindi la serie converge se $2-alpha >1$, ovvero $alpha<1$. Infine, $x=-1$ significa $a_n(x) = (-1)^n n^alpha /(n^2 - 1)$, la cui serie converge per criterio di leibnitz se $n^alpha /(n^2 - 1)$ è monotona decrescente, quindi $2-alpha >0$, $alpha <2$.
Osservo che se $alpha = 2$ la serie diventa $ sum_(n = 2)^(+infty) x^n + sum_(n = 2)^(+infty)x^n/(n^2 - 1) = 1/(1-x) + sum_(n = 2)^(+infty)x^n/(n^2 - 1) $, mi servirà dopo.

Il dominio sarà
$ I_alpha = { ( (-1,1) text( se ) alpha >=2 ),( [-1,1) text( se ) 1<=alpha<2 ),( [-1,1] text( se ) alpha < 1):} $

b)

Nel caso $alpha<1$ il dominio comprende entrambi gli estremi, quindi la convergenza è uniforme per il teorema di Abel. Negli altri casi invece la serie non converge in almeno uno degli estremi, quindi la convergenza è uniforme sui compatti contenuti nel dominio, ma non sul dominio stesso.

La convergenza è uniforme su TUTTO il dominio per $alpha<1$. Osservo che per gli altri valori di $alpha$ converge uniformemente sui compatti $[-1+1/n, 1-1/n]$.

c)

$ I_alpha nn (-infty,0) = { ((-1,0) text( se ) alpha >= 2), ([-1,0) text( se ) alpha < 2) :} $
Nel caso $alpha < 2$ il dominio comprende gli estremi e dunque la convergenza è uniforme su tutto il dominio, mentre ciò non accade nell'altro caso, sempre per il teorema di Abel.

La serie converge uniformemente su TUTTO il dominio per $alpha <2$.

d) Dove la convergenza è uniforme si ha sicuramente la continuità della funzione f. Quindi $alpha <1 => f in C^0 (I_alpha)$
Per gli altri valori di $alpha$ io direi che, essendo la convergenza uniforme su tutti i compatti $[-1+1/n, 1-1/n]$, allora si ha comunque continuità anche su $[-1,1)$ e su $(-1,1)$ nei rispettivi casi. Però mi sembra un ragionamento fallace, solo non riesco a capire dove!

e) Dove si ha convergenza uniforme vale $ int_(0)^(x) sum_(n=2)^(+infty) a_n(t) dt = sum_(n=2)^(+infty) int_(0)^(x) a_n(t) dt $ e quindi l'integrabilità secondo Lebesgue di $f_alpha(x)$ discende da quella delle $a_n(x)$ se $alpha <1$.
Per gli altri casi direi che, essendo la funzione infinita o addirittura non definita in almeno uno degli estremi, non si possa integrare su tutto l'insieme e restare nel finito, quindi $f!inL^1(I_alpha) text( se ) alpha >=1$.

Per l'ultimo punto non so proprio come fare. Vi sarei grato per qualunque spunto.
Come sempre, grazie e buone cose

[IlPolloDiGödel]

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