Una serie di funzioni

[Paolo902]

Buondì.

Ecco un grazioso problema sul quale gradirei una conferma.

Esercizio. Si studi la convergenza in campo reale della serie di funzioni [tex]S(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} 4^{n} \sin \left( \frac{x}{5^{n}}\right)[/tex] e si calcoli il $\lim_{x \to 0} (S(x))/x$.

Diciamo che per la prima parte, a meno di gravi sviste, dovrei esserci: fissato $x_{0} in RR$ e ricordando che $|sinx|<=|x|$ per ogni $x \in RR$, si ha
[tex] \vert 4^{n} \sin \left( \frac{x_0}{5^{n}}\right) \vert \le \left(\frac{4}{5}\right)^{n}|x_{0}|[/tex]
e quindi, per il criterio del confronto per serie a termini positivi, la serie numerica $S(x_0)$ è assolutamente convergente e, dunque, convergente. In altre parole, la serie di funzioni converge puntualmente per ogni $x \in RR$.

[Che la [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n}[/tex] converga è ovvio essendo una serie geometrica di ragione $4/5<1$.]

Ok fin qui?
Per quanto riguarda il limite, invece, mi chiedo: è lecito passare al limite sotto la sommatoria? Mi sa che la convergenza puntuale è troppo debole, ci vuole quella uniforme.

Se potessi far passare il limite sotto il segno di sommatoria, allora facilmente [tex]\frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5} \right)^{n} \frac{ \sin \frac{x}{5^{n}}}{\frac{x}{5^{n}}}[/tex]: il secondo fattore va a 1 per uno dei limiti più notevoli dai tempi di Analisi I ( ) e in definitiva [tex]\lim_{x \to 0} \frac{S(x)}{x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{4}{5}\right)^{n} = 5[/tex].

Suggerimenti, correzioni e commenti sono ben accetti. Grazie.

[Rigel1]

Per il secondo punto ti basta osservare che la serie converge uniformemente sui sottoinsiemi limitati di $\RR$ (e dunque, ad esempio, su un prefissato intorno dell'origine).

[j18eos]

Dato che ho un buco allo stomaco ed ho fame, il mio suggerimento è di usare la convergenza totale per... studia!

[Paolo902]

"Rigel":Per il secondo punto ti basta osservare che la serie converge uniformemente sui sottoinsiemi limitati di $\RR$ (e dunque, ad esempio, su un prefissato intorno dell'origine).

Hai certamente ragione, basta il criterio di Weierstrass cui si riferisce, mi pare, anche Armando.
Se $x_0 \in I$, con $I \subset RR$ limitato, da [tex] \vert 4^{n} \sin \left( \frac{x_0}{5^{n}}\right) \vert \le \left(\frac{4}{5}\right)^{n}|x_{0}| \le \left(\frac{4}{5}\right)^{n}c[/tex] ($c$ opportuna costante: il sup dell'insieme limitato!) e, quindi, la serie converge assolutamente, uniformemente e puntualmente in $I$ per il criterio di Weierstrass.

A questo punto, siccome ho convergenza uniforme posso passare il limite sotto segno di sommatoria e procedere come ho fatto prima.

Va bene? Per la cronaca, il problema è tratto da qui, pagina 2.

Grazie.

[Rigel1]

Il mio consiglio non è stato preciso.
Devi considerare la serie di funzioni $\sum_n \frac{f_n(x)}{x}$, che converge uniformemente in $\RR\setminus\{0\}$, e passare al limite su quella.

[Paolo902]

Ah, scusa, non avevo capito!

Sì, certo: ora è tutto chiaro. Che $\sum_{n} (f_{n}(x))/x$ converga uniformemente su tutto $RR setminus {0}$ si dimostra comunque nello stesso modo di sopra. Insomma, è sempre Weierstrass (la $x$ a denominatore serve proprio per questo!).

Poi si passa al limite e ho finito. Grazie mille.

[j18eos]

In effetti mi riferivo al criterio di Weierstrass od M-test, solo che non sono abituato a dargli un nome.

Comunque buono studio Paolo!

[Paolo902]

"j18eos":In effetti mi riferivo al criterio di Weierstrass od M-test, solo che non sono abituato a dargli un nome.

Comunque buono studio Paolo!

Perfetto, grazie mille, Armando!
Buono studio anche a te