Una serie

[Sk_Anonymous]

Data la serie di termine generale

Xn=arctg(2n/(2+n^2+n^4))

stabilire il suo carattere e ,nel caso,calcolarne
la somma.
karl.

[anonymous_af8479]

Il termine Xn è positivo e tendente a 0 per n -->00.

Esso è anche < 1/n^2 per cui la serie è convergente.

La sua somma, calcolata al computer, dovrebbe essere pi/4 .

Più tardi provo a trovare una dimostrazione analitica di questo risultato.

Scusate se uso a tutto spiano il computer, ma sono un fisico, anche se convertito alla matematica, per cui la tentazione è troppo forte ...

Bye.

[Principe2]

concordo sulla soluzione di Arriama, ma ignoro un modo analitico per calcolare la somma.

[Sk_Anonymous]

Un aiutino:
atan[(x-y)/(1+xy)]=atan(x)-atan(y)
e poi ricorrere ... al cannocchiale.
karl.

[Sk_Anonymous]

Modificato da - karl il 15/03/2004 21:19:05

[anonymous_af8479]

Grazie karl della formula (che ignoravo).

Stavo lavorando all'unica che conoscevo :

atan(x) + atan(1/x) = sgn(x) * pi/2

di cui la tua è una generalizzazione.

Ma temo che non ci avrei ricavatao tanto. Comunque sono contento che avevo almento intuito giusto ...

Allora si pone :

x = n^2 + n + 1
y = n^2 - n + 1

ecc. ecc.

Bye.

[Pachito1]

Se nell'aiutino pongo

x=n^2 + n + 1
y=n^2 - n + 1

ottengo

Xn=arctg(2n/(2+n^2+n^4)) = arctg(n^2 + n + 1)-arctg(n^2 - n + 1)

detto an=n^2 - n + 1, il termine successivo è an+1=n^2 + n + 1

dunque abbiamo arctg(an+1)-arctg(an)

che non è altro che una serie telescopica la cui somma è arctg(1)=/4.


P.S Come al solito in ritardo!

Modificato da - pachito il 15/03/2004 22:20:29