Una semplice successione
Trovare il limite della seguente successione con termine generale uguale a
$int_0^(+oo) 1/(1+t^n) dt, n>=2$
$int_0^(+oo) 1/(1+t^n) dt, n>=2$
Risposte
Integrando la funzione $f(z)=1/(1+z^n)$ nel cammino:
segmento $[0,R]$+
arco di circonferenza $z=Re^(itheta),0<=theta<=(2pi)/n$+
segmento $[Re^(i(2pi)/n),0]$
si ottiene, utilizzando il teorema dei residui e ponendo $R->+infty$,
$int_0^(+infty)(dt)/(1+t^n)=(pi/n)/(sen(pi/n))->1$ per $n->+infty$.
segmento $[0,R]$+
arco di circonferenza $z=Re^(itheta),0<=theta<=(2pi)/n$+
segmento $[Re^(i(2pi)/n),0]$
si ottiene, utilizzando il teorema dei residui e ponendo $R->+infty$,
$int_0^(+infty)(dt)/(1+t^n)=(pi/n)/(sen(pi/n))->1$ per $n->+infty$.
Bella soluzione, Piera!
Ce n'è anche una che non fa ricorso alla teoria dei residui... se ti va di cimentarti, sei il benvenuto
Ce n'è anche una che non fa ricorso alla teoria dei residui... se ti va di cimentarti, sei il benvenuto
$lim_(n->+infty)1/(1+t^n)=1$ per $0<=t<1$, $1/2$ per $t=1$ e 0 altrimenti.
Si dimostra che si può passare al limite sotto il segno di integrale, dunque
$lim_(n->+infty)int_0^(+infty)(dt)/(1+t^n)=int_0^(+infty)lim_(n->+infty)1/(1+t^n)dt=int_0^(1)1dt=1$ (l'integrale "non vede" $1/2$ per $t=1$) .
Si dimostra che si può passare al limite sotto il segno di integrale, dunque
$lim_(n->+infty)int_0^(+infty)(dt)/(1+t^n)=int_0^(+infty)lim_(n->+infty)1/(1+t^n)dt=int_0^(1)1dt=1$ (l'integrale "non vede" $1/2$ per $t=1$) .
Niente da dimostrare: il passaggio al limite sotto il segno d'integrale può farsi per il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata.
La funzione di $L^1([0,+infty [)$ che maggiora i termini della successione è proprio il limite puntuale individuato da Piera.
La funzione di $L^1([0,+infty [)$ che maggiora i termini della successione è proprio il limite puntuale individuato da Piera.
Ok Piera. Bravo!
"gugo82":
La funzione di $L^1([0,+infty [)$ che maggiora i termini della successione è proprio il limite puntuale individuato da Piera.
Il limite puntuale non maggiora la successione per $t>1$. Basta però considerare in $(1,+oo)$ una cosa del tipo $1/(1+t^2)$.
"Kroldar":
[quote="gugo82"]
La funzione di $L^1([0,+infty [)$ che maggiora i termini della successione è proprio il limite puntuale individuato da Piera.
Il limite puntuale non maggiora la successione per $t>1$. Basta però considerare in $(1,+oo)$ una cosa del tipo $1/(1+t^2)$.[/quote]
Ed infatti mi sono accorto dell'errore dopo aver spento il pc... Però erano le 4 e non ho avuto la forza di riaccenderlo!
Si cmq la maggiorante giusta è la funzione definita per casi $f(t)=1$ per $0le x <1$ ed $f(t)=1/(1+t^2)$ per $xge 1$.
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