Una questione sulle EDO
Ho un problema del genere:
[tex]$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime (x)]=-\mu\ u(x) &\text{, in $]a,1[$} \\
u(1)=0 \\
u^\prime (a)=-\mu \end{cases}$[/tex]
con [tex]$a\in ]0,1[$[/tex] e [tex]$\mu >0$[/tex], che so a priori avere almeno una soluzione positiva e decrescente.
Secondo voi è possibile recuperare [tex]$u(a)=1$[/tex]?
Oppure, scambiando le condizioni, avendo un problema del genere:
[tex]$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime (x)]=-\mu\ u(x) &\text{, in $]a,1[$} \\
u(1)=0 \\
u(a)=1 \end{cases}$[/tex]
con qualche soluzione positiva e decrescente, è possibile recuperare [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex]?
[tex]$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime (x)]=-\mu\ u(x) &\text{, in $]a,1[$} \\
u(1)=0 \\
u^\prime (a)=-\mu \end{cases}$[/tex]
con [tex]$a\in ]0,1[$[/tex] e [tex]$\mu >0$[/tex], che so a priori avere almeno una soluzione positiva e decrescente.
Secondo voi è possibile recuperare [tex]$u(a)=1$[/tex]?
Oppure, scambiando le condizioni, avendo un problema del genere:
[tex]$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime (x)]=-\mu\ u(x) &\text{, in $]a,1[$} \\
u(1)=0 \\
u(a)=1 \end{cases}$[/tex]
con qualche soluzione positiva e decrescente, è possibile recuperare [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex]?
Risposte
Ma in fin dei conti non è una equazione differenziale del II ordine lineare riconducibile a forma normale con dati iniziali?
L'equazione che ne esce è di tipo Bessel, quindi non si risolve con metodi elementari.
Se vuoi vedere gli integrali espliciti sono:
[tex]$u(x)=\frac{\sqrt{a\ \mu}}{\text{J}_1 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{\mu\ x}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{\mu\ x})\Big]$[/tex] per il primo problema,
[tex]$u(x)=\frac{1}{\text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{\mu\ x}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{\mu\ x})\Big]$[/tex] per il secondo,
ove [tex]$\text{J}_0,\ \text{J}_1,\ \text{Y}_0,\ \text{Y}_1$[/tex] sono le funzioni di Bessel di prima e seconda specie d'indici [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Evidentemente puoi cercare di recuperare le condizioni da qui, però si tratterebbe di risolvere delle equazioni incredibili! Infatti, imponendo che [tex]$u(a)=1$[/tex] si trova che [tex]$a$[/tex] deve soddisfare la condizione:
[tex]$\frac{\sqrt{a\ \mu}}{\text{J}_1 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\Big] =1$[/tex]
mentre, imponendo [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex] nella seconda, si trova:
[tex]$\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{a}\ [\text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})]} \Big[ -\text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_1 (2\sqrt{\mu\ x}) + \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{\mu\ x})\Big] =-\mu$[/tex].
Tuttavia, ora che ci penso, queste sono interpretabili come condizioni di compatibilità sui dati e forse sono quello che davvero mi interessa...
Se vuoi vedere gli integrali espliciti sono:
[tex]$u(x)=\frac{\sqrt{a\ \mu}}{\text{J}_1 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{\mu\ x}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{\mu\ x})\Big]$[/tex] per il primo problema,
[tex]$u(x)=\frac{1}{\text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{\mu\ x}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{\mu\ x})\Big]$[/tex] per il secondo,
ove [tex]$\text{J}_0,\ \text{J}_1,\ \text{Y}_0,\ \text{Y}_1$[/tex] sono le funzioni di Bessel di prima e seconda specie d'indici [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex].
Evidentemente puoi cercare di recuperare le condizioni da qui, però si tratterebbe di risolvere delle equazioni incredibili! Infatti, imponendo che [tex]$u(a)=1$[/tex] si trova che [tex]$a$[/tex] deve soddisfare la condizione:
[tex]$\frac{\sqrt{a\ \mu}}{\text{J}_1 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{a\ \mu})} \Big[ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu}) - \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\Big] =1$[/tex]
mentre, imponendo [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex] nella seconda, si trova:
[tex]$\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{a}\ [\text{J}_0 (2\sqrt{a\ \mu})\ \text{Y}_0(2\sqrt{\mu}) -\text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_0 (2\sqrt{a\ \mu})]} \Big[ -\text{Y}_0(2\sqrt{\mu})\ \text{J}_1 (2\sqrt{\mu\ x}) + \text{J}_0 (2\sqrt{\mu})\ \text{Y}_1 (2\sqrt{\mu\ x})\Big] =-\mu$[/tex].
Tuttavia, ora che ci penso, queste sono interpretabili come condizioni di compatibilità sui dati e forse sono quello che davvero mi interessa...
Gugo ti ricordo che venerdì 16/VII/2010 ho fatto l'esame scritto col prof. Berti; giusto pensando che tu stia scrivendo (e non parlando) con me spero di averti messo sulla buona strada, in quanto più dei nomi non conosco e di conseguenza non saprei risponderti.
Ho scritto quel post per farti capire che, nonostante moltissime EDO siano riconducibili a forma normale (almeno localmente), non tutte sono risolubili in maniera eplicita; e che nemmeno quando si sa scrivere esplicitamente un integrale si può sperare di lavorarci "tranquillamente".
Il più delle volte, quindi, si cerca di manipolare l'equazione per trarne informazioni sulle soluzioni: ad esempio, si può fare lo studio qualitativo (come nell'esame di SD), oppure si può cercare di ottenere altre informazioni in altre maniere (che è quello che, possibilmente, vorrei fare io).
Visto che in questo caso gli integrali erano complicati, volevo provare a manipolare l'equazione; ecco tutto.
P.S.: Com'è andato l'esame?
In questi giorni il caldo produce brutti effetti sul mio cervello per cui sono un po' titubante a esprimere giudizi - se dico qualche cavolata mi scuso in anticipo.
Una domanda : si vuole sapere se fissati $a$ e $\mu$ ad arbitrio esiste una soluzione con le condizioni richieste - oppure basta che la cosa sia vera
per una particolare coppia di $a$ e $\mu$ ?
Perché, vedendo il problema io avrei detto che esiste una e una sola soluzione del problema con la condizione $u(a)=1$, $u(1)=0$ (soluzione che si dimostra essere positiva) .
Mi pare assai improbabile che valga anche $u'(a)=-\mu$, per ogni $a$ e $\mu$, a meno che non ci sia un motivo "strutturale" per questo, che allora effettivamente si dovrebbe
trovare con qualche integrazione.
Ci penso ancora un po'
Una domanda : si vuole sapere se fissati $a$ e $\mu$ ad arbitrio esiste una soluzione con le condizioni richieste - oppure basta che la cosa sia vera
per una particolare coppia di $a$ e $\mu$ ?
Perché, vedendo il problema io avrei detto che esiste una e una sola soluzione del problema con la condizione $u(a)=1$, $u(1)=0$ (soluzione che si dimostra essere positiva) .
Mi pare assai improbabile che valga anche $u'(a)=-\mu$, per ogni $a$ e $\mu$, a meno che non ci sia un motivo "strutturale" per questo, che allora effettivamente si dovrebbe
trovare con qualche integrazione.
Ci penso ancora un po'
Riprendendo il mio commento precedente, mi sembra molto improbabile che la proprietà valga per ogni $a$ e $\mu$. Infatti prendendo $\mu$ fisso e facendo tendere $a$ a uno
le soluzioni dovrebbero passare da $u(a)=1$ a $u(1)=0$ in uno spazio sempre più breve, costringendo così la derivata a "inerpicarsi". Per formalizzare bene la cosa è chiaro che serve
qualche stima uniforme (direi sulle derivate seconde).
le soluzioni dovrebbero passare da $u(a)=1$ a $u(1)=0$ in uno spazio sempre più breve, costringendo così la derivata a "inerpicarsi". Per formalizzare bene la cosa è chiaro che serve
qualche stima uniforme (direi sulle derivate seconde).
Io esprimo un'opinione meno tecnica e più larga: pensandoci non credo che le funzioni di Bessel siano così "buone" da verificare la condizione scritta da Gugo per ogni fissato $a\in(0;1)$ e $\mu>0$, si dovrebbe provare almeno l'esistenza di una soluzione e sperare (oppure no?) nella sua unicità.
@Gugo P.S.: A mio parere l'esame scritto è andato benissimo poi vedrò a giudizio del prof.!
@Gugo P.S.: A mio parere l'esame scritto è andato benissimo poi vedrò a giudizio del prof.!
@VG: La questione in realtà è duplice.
Da un lato so che, per ogni fissato [tex]$\mu \geq \mu_0$[/tex], esiste almeno un [tex]$a\in [0,1[$[/tex] tale che il problema al bordo associato all'equazione [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime(x)]=-\mu\ u(x)$[/tex] con dati [tex]$u(1)=0, u(a)=1$[/tex] ha almeno una soluzione; questo fatto è legato in qualche modo alla funzione di distribuzione di una qualunque soluzione [tex]$u$[/tex] del problema.
Tale funzione di distribuzione (la quale, poiché [tex]$u$[/tex] è decrescente e continua, può essere vista come l'inversa di [tex]$u$[/tex]) ha derivata prima uguale a [tex]$-\tfrac{1}{\mu}$[/tex] nel punto [tex]$1$[/tex], ergo la generica soluzione [tex]$u$[/tex] di quel sistema ha da avere derivata uguale a [tex]$-\mu$[/tex] in [tex]$a$[/tex] (per il teorema di derivazione della funzione inversa); inoltre la derivata della funzione di distribuzione è [tex]$\leq -\tfrac{1}{\mu}$[/tex], quindi [tex]$u^\prime \leq -\mu$[/tex] in [tex]$[a,1[$[/tex].
Questi sono i motivi "strutturali" che mi fanno propendere a credere che la condizione [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex] sia in qualche modo ricavabile dalle altre due e, più in generale, che le tre condizioni [tex]$u(1)=0,u(a)=1,u^\prime(a)=-\mu$[/tex] per qualche valore di [tex]$a$[/tex] siano dipendenti (sicché il problema del secondo ordine sovradeterminato ha qualche soluzione).
D'altra parte, vorrei sfruttare il meno possibile i risultati che riguardano la funzione di distribuzione; quindi il mio problema è: 1) mostrare che, per fissato [tex]$\mu$[/tex], esiste almeno un [tex]$a$[/tex] tale che sono vere almeno due delle tre condizioni di cui sopra e 2) far vedere che la terza condizione è ricavabile dalle due già imposte.
Qualche testo da consigliarmi a riguardo? Anche qualcosa di classico.
Da un lato so che, per ogni fissato [tex]$\mu \geq \mu_0$[/tex], esiste almeno un [tex]$a\in [0,1[$[/tex] tale che il problema al bordo associato all'equazione [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} x} [x\ u^\prime(x)]=-\mu\ u(x)$[/tex] con dati [tex]$u(1)=0, u(a)=1$[/tex] ha almeno una soluzione; questo fatto è legato in qualche modo alla funzione di distribuzione di una qualunque soluzione [tex]$u$[/tex] del problema.
Tale funzione di distribuzione (la quale, poiché [tex]$u$[/tex] è decrescente e continua, può essere vista come l'inversa di [tex]$u$[/tex]) ha derivata prima uguale a [tex]$-\tfrac{1}{\mu}$[/tex] nel punto [tex]$1$[/tex], ergo la generica soluzione [tex]$u$[/tex] di quel sistema ha da avere derivata uguale a [tex]$-\mu$[/tex] in [tex]$a$[/tex] (per il teorema di derivazione della funzione inversa); inoltre la derivata della funzione di distribuzione è [tex]$\leq -\tfrac{1}{\mu}$[/tex], quindi [tex]$u^\prime \leq -\mu$[/tex] in [tex]$[a,1[$[/tex].
Questi sono i motivi "strutturali" che mi fanno propendere a credere che la condizione [tex]$u^\prime (a)=-\mu$[/tex] sia in qualche modo ricavabile dalle altre due e, più in generale, che le tre condizioni [tex]$u(1)=0,u(a)=1,u^\prime(a)=-\mu$[/tex] per qualche valore di [tex]$a$[/tex] siano dipendenti (sicché il problema del secondo ordine sovradeterminato ha qualche soluzione).
D'altra parte, vorrei sfruttare il meno possibile i risultati che riguardano la funzione di distribuzione; quindi il mio problema è: 1) mostrare che, per fissato [tex]$\mu$[/tex], esiste almeno un [tex]$a$[/tex] tale che sono vere almeno due delle tre condizioni di cui sopra e 2) far vedere che la terza condizione è ricavabile dalle due già imposte.
Qualche testo da consigliarmi a riguardo? Anche qualcosa di classico.
Sulle funzioni Bessel (visto che le hai usate) come classico nostrano cito Donato Greco - Complementi di Analisi.
Sulle ODE (EDO, come le vuoi chiamare) cercherei tra i libri di Arnol'd che le trattano.
Sulle ODE (EDO, come le vuoi chiamare) cercherei tra i libri di Arnol'd che le trattano.
@j18eos: Il Greco è il mio libro di riferimento sulle questioni elementari di variabile complessa.
Però sulle funzioni di Bessel ho di più sottomano...
Però sulle funzioni di Bessel ho di più sottomano...
Purtroppo non sono assolutamente esperto di ODE, devo confessare che non so cosa sia la funzione di distribuzione 
Io peraltro istintivamente inquadravo il problema come problema con dati al contorno. Il fatto che il termine di sinistra sia $(xu')'$ mi suggerisce subito un'impostazione variazionale
consistente nel minimizzare $\int_a^1(x(u')^2+\mu u^2)dx$ tra le $u$ che verificano $u(a)=1$, $u(1)=0$ - in questo modo so per certo che esiste una e una sola soluzione (che poi
è positiva per un qualche principio di massimo) per ogni $a>0$ e $\mu>0$. Come dicevo nell'altro post mi sembra impossibile ( e credo riuscirei a dimostrarlo) che per ogni coppia $a$ e $\mu$
si abbia anche $u'(a)=-\mu$; dovessi scommettere direi che, per esempio, fissato $a>0$ i $\mu$ buoni sono assai pochi se non al più uno (perché mi aspetto una qualche monotonia di
$u'(\mu)$ rispetto a $\mu$) . Una cosa che farei è vedere se si può dire a cosa tende la $u=u_\mu$ quando $\mu\to0$ e quando $\mu\to+\infty$.
Ma ovviamente sono tutte suggestioni dall'esterno e forse da un punto di vista forse non ottimale.
Comunque, se ho tempo, ci ripenso ancora un po'.
EDIT (ho fatto un conto )
Se prendo $\mu=0$ si vede subito che la soluzione diventa $u(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ che in $a$ ha derivata $u'(a)=\frac{1}{a\ln(a)}\ne0$. Sono pronto a scommettere che per $\mu$ vicino a zero $u'(a)$ non può essere $-\mu$.
EDIT 2 (poi mi fermo, promesso
)
Secondo me vale il fatto seguente. Fissato $a>0$ se $\mu_2\geq\mu1$, dette $u_1$ e $u_2$ le soluzioni con $\mu_1$ e $\mu_2$, allora $u_2\geq u_2$. Anzi dovrebbero valere le disuguaglianze strette su $]a,1[$, se $\mu_2>\mu_1$. Quindi $u'(a)$ dovrebbe crescere al crescere di $\mu$ .
Io peraltro istintivamente inquadravo il problema come problema con dati al contorno. Il fatto che il termine di sinistra sia $(xu')'$ mi suggerisce subito un'impostazione variazionale
consistente nel minimizzare $\int_a^1(x(u')^2+\mu u^2)dx$ tra le $u$ che verificano $u(a)=1$, $u(1)=0$ - in questo modo so per certo che esiste una e una sola soluzione (che poi
è positiva per un qualche principio di massimo) per ogni $a>0$ e $\mu>0$. Come dicevo nell'altro post mi sembra impossibile ( e credo riuscirei a dimostrarlo) che per ogni coppia $a$ e $\mu$
si abbia anche $u'(a)=-\mu$; dovessi scommettere direi che, per esempio, fissato $a>0$ i $\mu$ buoni sono assai pochi se non al più uno (perché mi aspetto una qualche monotonia di
$u'(\mu)$ rispetto a $\mu$) . Una cosa che farei è vedere se si può dire a cosa tende la $u=u_\mu$ quando $\mu\to0$ e quando $\mu\to+\infty$.
Ma ovviamente sono tutte suggestioni dall'esterno e forse da un punto di vista forse non ottimale.
Comunque, se ho tempo, ci ripenso ancora un po'.
EDIT (ho fatto un conto )
Se prendo $\mu=0$ si vede subito che la soluzione diventa $u(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ che in $a$ ha derivata $u'(a)=\frac{1}{a\ln(a)}\ne0$. Sono pronto a scommettere che per $\mu$ vicino a zero $u'(a)$ non può essere $-\mu$.
EDIT 2 (poi mi fermo, promesso
)Secondo me vale il fatto seguente. Fissato $a>0$ se $\mu_2\geq\mu1$, dette $u_1$ e $u_2$ le soluzioni con $\mu_1$ e $\mu_2$, allora $u_2\geq u_2$. Anzi dovrebbero valere le disuguaglianze strette su $]a,1[$, se $\mu_2>\mu_1$. Quindi $u'(a)$ dovrebbe crescere al crescere di $\mu$ .
CLAMOROSO ERRORE DI SEGNO 
Tutto quanto detto sopra va bene se c'è $\mu u$ e non $-\mu u$ a destra. Con il meno si entra in un problema di autovalori in cui la soluzione esiste unica per $\mu$ diverso da una successione di autovalori (ma non so se sia positiva). Devo rimeditare tutto.
Tutto quanto detto sopra va bene se c'è $\mu u$ e non $-\mu u$ a destra. Con il meno si entra in un problema di autovalori in cui la soluzione esiste unica per $\mu$ diverso da una successione di autovalori (ma non so se sia positiva). Devo rimeditare tutto.
Mi spiace per l'errore, comunque mi pare che la sostanza del discorso non cambi troppo.
Se si considera il problema
$(xu')'+\mu u=0$ su $[a,1]$ con $u(a)=1$ e $u(1)=0$ si può porre $u_0(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ (che verifica $(xu_0')'=0$ su $[a,1]$ con $u_0(a)=1$ e $u_0(1)=0$ e cercare
$u$ del tipo $u(x)=u_0(x)+v(x)$. Si vede subito che $u$ risolve il problema di partenza se e solo se $v$ risolve:
(V) $(xv')'+\mu v=-\mu u_0$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$.
Per la teoria di Sturm Liouville esiste una successione di autovalori $\mu_n$ tali che $|\mu_n|\to+\infty$ e
(a) per ogni $n$ esiste "un' autofunzione" $e_n$ diversa da zero per cui $(xe_n')'+\mu e_n=0$, $e_n(a)=e_n(1)=0$.
(b) se $\mu\ne\mu_n$ allora l'equazione $(xv')'+\mu_n v=f(x)$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$ ha soluzione unica per ogni $f$ (per esempio continua).
(b) se $\mu=\mu_n$ allora l'equazione $(xv')'+\mu v=f(x)$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$ ha soluzione se e solo se $f$ è "ortogonale" alle autofunzioni di autovalore $\mu_n$ nel senso
che $\int_a^1e(x)f(x)=0$ per $e\inE_n:="span"(e_i:\mu_i=\mu_n)$ - per tali $f$ la soluzione non è unica potendovici aggiungere una qualunque $e$ di $E_n$
Inoltre nel caso in esame gli autovalori sono tutti positivi e tendono a $+\infty$.
Penso che i $\mu_n$ abbiano a che fare con gli zeri delle funzioni di Bessel , ma non ho ancora capito come passare da (V) a quella che io ricordo come eq. di Bessel (che sarebbe
$x(xu')'+(x^2-\alpha^2)u=0$). Se Gugo mi mostra come si arriva alle funzioni di Bessel mi fa contento (mi colpisce tra l'altro che si riesca a scrivere la soluzione con sole quattro funzioni di Bessel, mentre io avrei detto che ci voleva una serie ??)
Detto questo mi sembra anche che, qualora (V) abbia soluzione , essa deve essere maggiore o eguale a zero (perché $0$ è "sottosoluzione" di (V) e quindi per la corrispondente
$u$ si ha $u\geq u_0>0$ (per ora non so trovare invece che $u$ è decrescente).
Dunque, ad $a$ fissato la soluzione esiste per tutti i $\mu$ tranne i $\mu_n$ (per i quali andrebbe fatta un'analisi più sottile). Rimango convinto del fatto che l'ulteriore condizione
$u'(a)=-\mu$ non valga eccetto che per un insieme assai piccolo di $\mu$ (dato il segno di $\mu$ sono disposto ad ammettere una successione ....). Il discorso fatto nei post
precedenti mi sembra mostrare che tale condizione non si realizza per $\mu$ vicino a zero.
Un'ultima osservazione: Se fosse $u'(a)=\-mu$ allora dall'equazione avrei $u''(a)=0$
Se si considera il problema
$(xu')'+\mu u=0$ su $[a,1]$ con $u(a)=1$ e $u(1)=0$ si può porre $u_0(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ (che verifica $(xu_0')'=0$ su $[a,1]$ con $u_0(a)=1$ e $u_0(1)=0$ e cercare
$u$ del tipo $u(x)=u_0(x)+v(x)$. Si vede subito che $u$ risolve il problema di partenza se e solo se $v$ risolve:
(V) $(xv')'+\mu v=-\mu u_0$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$.
Per la teoria di Sturm Liouville esiste una successione di autovalori $\mu_n$ tali che $|\mu_n|\to+\infty$ e
(a) per ogni $n$ esiste "un' autofunzione" $e_n$ diversa da zero per cui $(xe_n')'+\mu e_n=0$, $e_n(a)=e_n(1)=0$.
(b) se $\mu\ne\mu_n$ allora l'equazione $(xv')'+\mu_n v=f(x)$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$ ha soluzione unica per ogni $f$ (per esempio continua).
(b) se $\mu=\mu_n$ allora l'equazione $(xv')'+\mu v=f(x)$ su $[a,1]$, $v(a)=v(1)=0$ ha soluzione se e solo se $f$ è "ortogonale" alle autofunzioni di autovalore $\mu_n$ nel senso
che $\int_a^1e(x)f(x)=0$ per $e\inE_n:="span"(e_i:\mu_i=\mu_n)$ - per tali $f$ la soluzione non è unica potendovici aggiungere una qualunque $e$ di $E_n$
Inoltre nel caso in esame gli autovalori sono tutti positivi e tendono a $+\infty$.
Penso che i $\mu_n$ abbiano a che fare con gli zeri delle funzioni di Bessel , ma non ho ancora capito come passare da (V) a quella che io ricordo come eq. di Bessel (che sarebbe
$x(xu')'+(x^2-\alpha^2)u=0$). Se Gugo mi mostra come si arriva alle funzioni di Bessel mi fa contento
(mi colpisce tra l'altro che si riesca a scrivere la soluzione con sole quattro funzioni di Bessel, mentre io avrei detto che ci voleva una serie ??)Detto questo mi sembra anche che, qualora (V) abbia soluzione , essa deve essere maggiore o eguale a zero (perché $0$ è "sottosoluzione" di (V) e quindi per la corrispondente
$u$ si ha $u\geq u_0>0$ (per ora non so trovare invece che $u$ è decrescente).
Dunque, ad $a$ fissato la soluzione esiste per tutti i $\mu$ tranne i $\mu_n$ (per i quali andrebbe fatta un'analisi più sottile). Rimango convinto del fatto che l'ulteriore condizione
$u'(a)=-\mu$ non valga eccetto che per un insieme assai piccolo di $\mu$ (dato il segno di $\mu$ sono disposto ad ammettere una successione ....). Il discorso fatto nei post
precedenti mi sembra mostrare che tale condizione non si realizza per $\mu$ vicino a zero.
Un'ultima osservazione: Se fosse $u'(a)=\-mu$ allora dall'equazione avrei $u''(a)=0$
Per ricondurre il tutto all'equazione di Bessel d'ordine zero basta sostituire [tex]$y=C\ \sqrt{\mu\ x}$[/tex], ove [tex]$C>0$[/tex] la si sceglie dopo. Perdonami, ma quelli che seguono sono conti piuttosto zozzoni.
Infatti, posto [tex]$u(x)=v(C\ \sqrt{\mu\ x})$[/tex] si ha (col punto denoto la derivata rispetto a [tex]$y$[/tex], mentre l'apice lo uso per la derivata risp. a [tex]$x$[/tex]):
[tex]$u^\prime =\frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\ \dot{v} =\frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v}$[/tex]
[tex]$u^{\prime \prime}= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{C^2\ \mu }{2y}\ \dot{v}\right] =\frac{C^2\ \mu}{2}\ \left( -\frac{1}{y^2}\ \frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\ \dot{v} + \frac{1}{y}\ \ddot{v}\ \frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\right) =\frac{C^4\ \mu^2}{4\ y^2}\ \left( \ddot{v}-\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
quindi:
[tex]$(x u^\prime)^\prime =xu^{\prime \prime} +u^\prime =\frac{y^2}{C^2\ \mu}\ \frac{C^4\ \mu^2}{4\ y^2}\left( \ddot{v}-\frac{1}{y}\ \dot{v}\right) + \frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v} = \frac{C^2\ \mu}{4}\ \ddot{v} -\frac{C^2\ \mu}{4y}\ \dot{v} +\frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v}= \mu\ \left( \frac{C}{2}\right)^2\ \left( \ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
Conseguentemente, prendendo [tex]$C=2$[/tex], la sostituzione proposta trasforma l'operatore differenziale [tex]$(x\ u^\prime)^\prime$[/tex] nell'"operatore di Bessel":
[tex]$\mu\ \left(\ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
e perciò l'equazione [tex]$(x\ u^\prime)^\prime =-\mu\ u$[/tex] si riscrive come un'equazione di Bessel d'ordine zero:
[tex]$\ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}=-v \quad \Rightarrow \quad y^2\ \ddot{v} +y\ \dot{v} +y^2\ v=0 \quad \Leftrightarrow \quad y\ \overbrace{(y\ \dot{v})}^{\cdot} +y^2\ v=0$[/tex]
Per questo riesco a scrivere l'integrale della EDO con le due funzioni di Bessel d'ordine zero e/o con le funzioni di ordine uno (a seconda del problema; ricordo che le funzioni di Bessel d'ordine uno sono le opposte delle derivate di quelle d'ordine zero: ad esempio [tex]$\text{J}_0^\prime =-\text{J}_1$[/tex] e lo stesso vale per le [tex]$\text{Y}$[/tex]).
Quanto al resto VG, ti ringrazio del tempo che hai dedicato alla questione; anzi hai fatto anche più del dovuto.
Ora mi rileggo tutto attentamente. Grazie.
In effetti tutto è partito da un problema di autovalori per il laplaciano in un cerchio (come l'equazione di Bessel poteva facilmente far supporre). L'idea che venuta in mente era: al posto dell'autovalore, facciamo finta che [tex]$\lambda$[/tex] sia un parametro ed andiamo a vedere cosa succede; in particolare, posso trovare almeno una corona circolare in modo che [tex]$-\Delta U=\lambda\ U$[/tex] abbia una soluzione radiale tale che [tex]$U(\text{raggio esterno})=0$[/tex] e [tex]$U(\text{raggio interno})=1$[/tex]?
Infatti, posto [tex]$u(x)=v(C\ \sqrt{\mu\ x})$[/tex] si ha (col punto denoto la derivata rispetto a [tex]$y$[/tex], mentre l'apice lo uso per la derivata risp. a [tex]$x$[/tex]):
[tex]$u^\prime =\frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\ \dot{v} =\frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v}$[/tex]
[tex]$u^{\prime \prime}= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{C^2\ \mu }{2y}\ \dot{v}\right] =\frac{C^2\ \mu}{2}\ \left( -\frac{1}{y^2}\ \frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\ \dot{v} + \frac{1}{y}\ \ddot{v}\ \frac{C\ \mu}{2\sqrt{\mu\ x}}\right) =\frac{C^4\ \mu^2}{4\ y^2}\ \left( \ddot{v}-\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
quindi:
[tex]$(x u^\prime)^\prime =xu^{\prime \prime} +u^\prime =\frac{y^2}{C^2\ \mu}\ \frac{C^4\ \mu^2}{4\ y^2}\left( \ddot{v}-\frac{1}{y}\ \dot{v}\right) + \frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v} = \frac{C^2\ \mu}{4}\ \ddot{v} -\frac{C^2\ \mu}{4y}\ \dot{v} +\frac{C^2\ \mu}{2y}\ \dot{v}= \mu\ \left( \frac{C}{2}\right)^2\ \left( \ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
Conseguentemente, prendendo [tex]$C=2$[/tex], la sostituzione proposta trasforma l'operatore differenziale [tex]$(x\ u^\prime)^\prime$[/tex] nell'"operatore di Bessel":
[tex]$\mu\ \left(\ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}\right)$[/tex]
e perciò l'equazione [tex]$(x\ u^\prime)^\prime =-\mu\ u$[/tex] si riscrive come un'equazione di Bessel d'ordine zero:
[tex]$\ddot{v}+\frac{1}{y}\ \dot{v}=-v \quad \Rightarrow \quad y^2\ \ddot{v} +y\ \dot{v} +y^2\ v=0 \quad \Leftrightarrow \quad y\ \overbrace{(y\ \dot{v})}^{\cdot} +y^2\ v=0$[/tex]
Per questo riesco a scrivere l'integrale della EDO con le due funzioni di Bessel d'ordine zero e/o con le funzioni di ordine uno (a seconda del problema; ricordo che le funzioni di Bessel d'ordine uno sono le opposte delle derivate di quelle d'ordine zero: ad esempio [tex]$\text{J}_0^\prime =-\text{J}_1$[/tex] e lo stesso vale per le [tex]$\text{Y}$[/tex]).
Quanto al resto VG, ti ringrazio del tempo che hai dedicato alla questione; anzi hai fatto anche più del dovuto.
Ora mi rileggo tutto attentamente. Grazie.
In effetti tutto è partito da un problema di autovalori per il laplaciano in un cerchio (come l'equazione di Bessel poteva facilmente far supporre). L'idea che venuta in mente era: al posto dell'autovalore, facciamo finta che [tex]$\lambda$[/tex] sia un parametro ed andiamo a vedere cosa succede; in particolare, posso trovare almeno una corona circolare in modo che [tex]$-\Delta U=\lambda\ U$[/tex] abbia una soluzione radiale tale che [tex]$U(\text{raggio esterno})=0$[/tex] e [tex]$U(\text{raggio interno})=1$[/tex]?
"gugo82":
Per ricondurre il tutto all'equazione di Bessel d'ordine zero basta sostituire [tex]$y=C\ \sqrt{\mu\ x}$[/tex], ove [tex]$C>0$[/tex] la si sceglie dopo. Perdonami, ma quelli che seguono sono conti piuttosto zozzoni.
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In effetti tutto è partito da un problema di autovalori per il laplaciano in un cerchio (come l'equazione di Bessel poteva facilmente far supporre). L'idea che venuta in mente era: al posto dell'autovalore, facciamo finta che [tex]$\lambda$[/tex] sia un parametro ed andiamo a vedere cosa succede; in particolare, posso trovare almeno una corona circolare in modo che [tex]$-\Delta U=\lambda\ U$[/tex] abbia una soluzione radiale tale che [tex]$U(\text{raggio esterno})=0$[/tex] e [tex]$U(\text{raggio interno})=1$[/tex]?
Grazie per i conti - in realtà mi accontentavo della sostituzione.
Per quanto riguarda il resto, tutto mi sembra perfettamente ragionevole, ma come mai vuoi imporre anche la condizione sulla derivata radiale ?
Riguardo ai mie post quello che ho scritto è molto standard, non credo di aver fatto molta luce sulla tua domanda
EDIT Forse l'unica cosa detta nei miei post a cui potresti riflettere è che per risolvere $-\Delta u=\lambda u$ con una condizione non nulla sul bordo puoi prendere una $u_0$ che verifichi la condizione al bordo
e cercare $u=u_0+v$ di modo che la condizione al bordo diventa omogenea ma compare un dato non nullo: $-\Delta v=\lambda v+f$ (se $u_0$ la prendi armonica $f$ viene $-\lambda u_o$)
A questo punto la teoria è nota: se $\lambda$ non è autovalore esiste unica la soluzione per ogni $f$ se no $f$ deve essere ortogonale al nucleo.
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