Una questione sul lavoro (in fisica)
Salve a tutti,
scrivo sul forum per cercare di chiarirmi le idee in merito alla definizione di "lavoro". Scrivo nella sezione di "analisi" anzichè in quella di "fisica" perchè probabilmente per un fisico i miei dubbi non sussistono in quanto ancorati a dei particolari trascurabili per loro (almeno a giudicare dai libri che ho letto).
Premetto che le mie conoscenze di analisi si fermano ad un corso di analisi 1. Leggendo un po' in giro, mi è sembrato di capire che per una comprensione profonda della definizione del "lavoro" dovrei studiarmi un corso di analisi 2, visto ch entrano in gioco gli "integrali di linea" che, nel mio corso di analisi 1, non vengono trattati.
Il problema è che l'esame di Fisica 1 è del primo anno e non del secondo, e dunque mi trovo costretto mio malgrado a cercare di comprendere la materia anzitempo.
Ma passiamo ai fatti.
La cosa che più di tutte non mi è chiara, è la necessità di introdurre il vettore curvilineo $d\vecs$.
Ho provato in fatti ad elaborare una "mia" definizione del "lavoro" senza utilizzare $d\vecs$ e a me sembra che funzioni. Sicuramente non sarà così, visto che se tutti lo scrivono un motivo ci sarà; tuttavia da solo non riesco a trovare gli errori. Vi posto quindi la "mia definizione" sperando che qualcuno di voi mi illumini:
--------------
Consideriamo un corpo che si muova di traiettoria qualunque per effetto
di una forza $\vec{F}$ variabile. Vogliamo calcolare il lavoro compiuto
da $\vec{F}$ per far muovere il corpo da $A$ a$B$. Consideriamo
una funzione che associa ad ogni posizione del corpo, il corrispondente
modulo della forza in quel punto, cioè
$F:\vec{r}_{i}\to F(\vec{r_{i}})$
Supponiamo che tale funzione sia continua.
Dividiamo il tratto
di curva $AB$ in $n$ parti. Abbiamo dunque individuato
una serie di punti nel piano tali che $A=P_{0},P_{1},...,P_{n}=B$.
Ogni punto $P_{i}$ identifica univocamente un veottore $\vec{OP_{i}}=\vec{r_{i}}$.
Poniamo $\Delta\vec{r}_{i}=\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_{i}$
Sia inoltre $\theta_{i}$ l'angolo tra i 2 vettori $\vec{F}(\vec{r}_{i})$ e $\Delta\vec{r}_{i}$.
Consideriamo la quantità
$F(\vec{r}_{i})cos(\theta_{i})|\vec{r}_{i+1}-\vec{r_{i}}|=F_{T}(\vec{r}_{i})|\Delta\vec{r}_{i}|=$
$=\vec{F}(\vec{r}_{i})\Delta\vec{r}_{i}$
Esso rappresenta una approssimazione del lavoro nel passare dalla
posizione $\vec{r}_{i}$ alla poszione $\vec{r}_{i+1}$.
Definiamo allora
$L_F=\lim_{\Delta r_{i}\to0}\sum_{i=0}^{n}\vec{F}(\vec{r}_{i})\Delta\vec{r}_{i}=$
$=\int_{A}^{B}\vec{F}(\vec{r})d\vec{r}$
come il lavoro compiuto da $\vec{F}$ per passare da $A$ a $B$
----------------------------
Se per caso tutto questo discorso fosse sbagliato vorrei sapere se:
1)C'è qualcuno che riesce a spiegarmi il lavoro senza utilizzare termini come "infinitesimi" e roba simile?
2)Si possono effetivamente comprendere a pieno queste definizioni prima di aver completato un corso di analisi 2?
3)Io ho la netta sensazione che nei libri di fisica in genere, si diano delle definizioni e delle dimostrazioni in modo un po' superficiale ed intuitivo. Mi sembra insomma, che (forse per cercare di rendere + comprensibile la materia), non si diano delle giustificazioni formalmente "ineccepibili". Siete d'accordo con me o sono io pazzo?
4)Nell'ipotesi che la 3) sia vera
, sarebbe in teoria possibile dare delle dimostrazioni formalmente perfette, di tutto ciò che esiste in fisica, oppure rimane tutto nel vago?
Grazie molte a tutti!!!
scrivo sul forum per cercare di chiarirmi le idee in merito alla definizione di "lavoro". Scrivo nella sezione di "analisi" anzichè in quella di "fisica" perchè probabilmente per un fisico i miei dubbi non sussistono in quanto ancorati a dei particolari trascurabili per loro (almeno a giudicare dai libri che ho letto).
Premetto che le mie conoscenze di analisi si fermano ad un corso di analisi 1. Leggendo un po' in giro, mi è sembrato di capire che per una comprensione profonda della definizione del "lavoro" dovrei studiarmi un corso di analisi 2, visto ch entrano in gioco gli "integrali di linea" che, nel mio corso di analisi 1, non vengono trattati.
Il problema è che l'esame di Fisica 1 è del primo anno e non del secondo, e dunque mi trovo costretto mio malgrado a cercare di comprendere la materia anzitempo.
Ma passiamo ai fatti.
La cosa che più di tutte non mi è chiara, è la necessità di introdurre il vettore curvilineo $d\vecs$.
Ho provato in fatti ad elaborare una "mia" definizione del "lavoro" senza utilizzare $d\vecs$ e a me sembra che funzioni. Sicuramente non sarà così, visto che se tutti lo scrivono un motivo ci sarà; tuttavia da solo non riesco a trovare gli errori. Vi posto quindi la "mia definizione" sperando che qualcuno di voi mi illumini:
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Consideriamo un corpo che si muova di traiettoria qualunque per effetto
di una forza $\vec{F}$ variabile. Vogliamo calcolare il lavoro compiuto
da $\vec{F}$ per far muovere il corpo da $A$ a$B$. Consideriamo
una funzione che associa ad ogni posizione del corpo, il corrispondente
modulo della forza in quel punto, cioè
$F:\vec{r}_{i}\to F(\vec{r_{i}})$
Supponiamo che tale funzione sia continua.
Dividiamo il tratto
di curva $AB$ in $n$ parti. Abbiamo dunque individuato
una serie di punti nel piano tali che $A=P_{0},P_{1},...,P_{n}=B$.
Ogni punto $P_{i}$ identifica univocamente un veottore $\vec{OP_{i}}=\vec{r_{i}}$.
Poniamo $\Delta\vec{r}_{i}=\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_{i}$
Sia inoltre $\theta_{i}$ l'angolo tra i 2 vettori $\vec{F}(\vec{r}_{i})$ e $\Delta\vec{r}_{i}$.
Consideriamo la quantità
$F(\vec{r}_{i})cos(\theta_{i})|\vec{r}_{i+1}-\vec{r_{i}}|=F_{T}(\vec{r}_{i})|\Delta\vec{r}_{i}|=$
$=\vec{F}(\vec{r}_{i})\Delta\vec{r}_{i}$
Esso rappresenta una approssimazione del lavoro nel passare dalla
posizione $\vec{r}_{i}$ alla poszione $\vec{r}_{i+1}$.
Definiamo allora
$L_F=\lim_{\Delta r_{i}\to0}\sum_{i=0}^{n}\vec{F}(\vec{r}_{i})\Delta\vec{r}_{i}=$
$=\int_{A}^{B}\vec{F}(\vec{r})d\vec{r}$
come il lavoro compiuto da $\vec{F}$ per passare da $A$ a $B$
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Se per caso tutto questo discorso fosse sbagliato vorrei sapere se:
1)C'è qualcuno che riesce a spiegarmi il lavoro senza utilizzare termini come "infinitesimi" e roba simile?
2)Si possono effetivamente comprendere a pieno queste definizioni prima di aver completato un corso di analisi 2?
3)Io ho la netta sensazione che nei libri di fisica in genere, si diano delle definizioni e delle dimostrazioni in modo un po' superficiale ed intuitivo. Mi sembra insomma, che (forse per cercare di rendere + comprensibile la materia), non si diano delle giustificazioni formalmente "ineccepibili". Siete d'accordo con me o sono io pazzo?
4)Nell'ipotesi che la 3) sia vera
, sarebbe in teoria possibile dare delle dimostrazioni formalmente perfette, di tutto ciò che esiste in fisica, oppure rimane tutto nel vago?Grazie molte a tutti!!!
Risposte
up.
up
WOW!
[mod="Fioravante Patrone"]Direi che meriti una risposta, se non altro per aver rispettato puntigliosamente il regolamento. Grazie![/mod]
Siamo alle solite, col "$dx$" e compagnia, di cui ci si è occupati [size=150]n[/size] volte (n grosso) nel forum.
La strada che tu segui mi sembra ragionevole (ma non ho letto con troppa attenzione), mi pare anzi che sia un percorso "tradizionale" usato per introdurre "alla buona" il lavoro di un campo di forze, mi sembra strano che non l'hai visto in giro.
Non solo, direi che se hai un campo continuo e una curva regolare (diciamo di classe $C^1$, con "velocità" mai nulla), il limite da te proposto dovrebbe coincidere esattamente con il lavoro.
Ovviamente, come dici tu, si tratta di un integrale di linea di un campo vettoriale, la cui definizione formale viene data nei corsi di analisi al momento giusto per l'analisi, e quindi spesso troppo tardi per la fisica.
[mod="Fioravante Patrone"]Direi che meriti una risposta, se non altro per aver rispettato puntigliosamente il regolamento. Grazie![/mod]
Siamo alle solite, col "$dx$" e compagnia, di cui ci si è occupati [size=150]n[/size] volte (n grosso) nel forum.
La strada che tu segui mi sembra ragionevole (ma non ho letto con troppa attenzione), mi pare anzi che sia un percorso "tradizionale" usato per introdurre "alla buona" il lavoro di un campo di forze, mi sembra strano che non l'hai visto in giro.
Non solo, direi che se hai un campo continuo e una curva regolare (diciamo di classe $C^1$, con "velocità" mai nulla), il limite da te proposto dovrebbe coincidere esattamente con il lavoro.
Ovviamente, come dici tu, si tratta di un integrale di linea di un campo vettoriale, la cui definizione formale viene data nei corsi di analisi al momento giusto per l'analisi, e quindi spesso troppo tardi per la fisica.
GraaaaaaaaaaaazieeEEEE!!!! 
Finalmente qualcuno mi ha risposto!
Ti ringrazio molto!
Finalmente qualcuno mi ha risposto!
Ti ringrazio molto!
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