Una questione di Teoria della Misura
Non so se avete mai visto la costruzione "artigianale"* della misura di Lebesgue su $RR^n$.
Si parte dal definire la misura elementare degli intervalli limitati $(a,b)=(a_1,b_1)\times \ldots \times (a_n,b_n)$ (qui le coordinate dei punti $a,b \in RR^n$ verificano le relazioni $a_i<=b_i$; inoltre gli intervalli $(a_i,b_i)$, non importa siano aperti, chiusi o semiaperti) come $mu((a,b)):=\prod_(i=1)^n b_i-a_i$.
Praticamente si sta dicendo che se prendo l'intervallo aperto $]a,b[$ o l'intervallo chiuso $[a,b]$ o qualunque altro intervallo "intermedio" $]a,b[\subseteq I=(a,b) \subseteq [a,b]$ trovo sempre:
$mu(I)=\prod_(i=1)^n b_i-a_i \quad$:
in altre parole si dice, per definizione, che aggiungere pezzi di frontiera ad un intervallo non altera la sua misura elementare.
Fatto ciò, si costruisce la misura $mu$ di Peano-Jordan per i limitati; si costruisce la misura di Lebesgue per i limitati e per i non limitati; poi si prova che tale misura $m$ è effettivamente "una misura" su $RR^n$ e che gode di certe proprietà molto carine: che è definita sui borelliani, che è internamente ed esternamente regolare, che è finita sui compatti, che è invariante per traslazioni, etc...
Ora ho trovato questo teorema:
La dimostrazione dice più o meno così: "se al posto della misura elementare usiamo $lambda$ per valutare gli intervalli, riusciamo a fare una costruzione analoga a quella della misura di Lebesgue che ci porta ad una nuova misura $m_lambda$; la $m_lambda$ gode di tutte le proprietà provate per la misura di Lebesgue $m$, quindi in particolare $m_lambda$ è regolare."
Ora il mio dubbio è questo.
Mentre nella costruzione di $m$ sono partito da una misura (quella elementare) che aveva per definizione la proprietà $mu(]a,b[)=mu([a,b])$, ora sto valutando gli intervalli limitati con lambda e nessuno mi assicura che $lambda(]a,b[)=lambda([a,b])$.
In particolare, potrebbe risultare $lambda(]a,b[)
Secondo voi, c'è modo di evitare che una circostanza del genere si verifichi (casomai scegliendo di operare con famiglie particolari di intervalli, e.g. scegliendo quelli semiaperti superiormente $[a,b[=\prod_(i=1)^n [a_i,b_i[$)?
Oppure una situazione del genere è nella natura delle cose e la dimostrazione proposta è semplicemente sbagliata (o, quanto meno, assume tacitamente l'ipotesi $lambda(]a,b[)=lambda([a,b])$)?
__________
* Contrapposta a quella "industriale" che viene fuori dall'applicazione del Teorema di rappresentazione di Riesz (dei funzionali lineari e continui su $C_c(RR^n)$) proposta, ad esempio, sul Rudin.
Si parte dal definire la misura elementare degli intervalli limitati $(a,b)=(a_1,b_1)\times \ldots \times (a_n,b_n)$ (qui le coordinate dei punti $a,b \in RR^n$ verificano le relazioni $a_i<=b_i$; inoltre gli intervalli $(a_i,b_i)$, non importa siano aperti, chiusi o semiaperti) come $mu((a,b)):=\prod_(i=1)^n b_i-a_i$.
Praticamente si sta dicendo che se prendo l'intervallo aperto $]a,b[$ o l'intervallo chiuso $[a,b]$ o qualunque altro intervallo "intermedio" $]a,b[\subseteq I=(a,b) \subseteq [a,b]$ trovo sempre:
$mu(I)=\prod_(i=1)^n b_i-a_i \quad$:
in altre parole si dice, per definizione, che aggiungere pezzi di frontiera ad un intervallo non altera la sua misura elementare.
Fatto ciò, si costruisce la misura $mu$ di Peano-Jordan per i limitati; si costruisce la misura di Lebesgue per i limitati e per i non limitati; poi si prova che tale misura $m$ è effettivamente "una misura" su $RR^n$ e che gode di certe proprietà molto carine: che è definita sui borelliani, che è internamente ed esternamente regolare, che è finita sui compatti, che è invariante per traslazioni, etc...
Ora ho trovato questo teorema:
Se $lambda$ una misura positiva di Borel (ossia definita sui borelliani) finita sui compatti, allora $lambda$ è internamente ed esternamente regolare.
La dimostrazione dice più o meno così: "se al posto della misura elementare usiamo $lambda$ per valutare gli intervalli, riusciamo a fare una costruzione analoga a quella della misura di Lebesgue che ci porta ad una nuova misura $m_lambda$; la $m_lambda$ gode di tutte le proprietà provate per la misura di Lebesgue $m$, quindi in particolare $m_lambda$ è regolare."
Ora il mio dubbio è questo.
Mentre nella costruzione di $m$ sono partito da una misura (quella elementare) che aveva per definizione la proprietà $mu(]a,b[)=mu([a,b])$, ora sto valutando gli intervalli limitati con lambda e nessuno mi assicura che $lambda(]a,b[)=lambda([a,b])$.
In particolare, potrebbe risultare $lambda(]a,b[)
Secondo voi, c'è modo di evitare che una circostanza del genere si verifichi (casomai scegliendo di operare con famiglie particolari di intervalli, e.g. scegliendo quelli semiaperti superiormente $[a,b[=\prod_(i=1)^n [a_i,b_i[$)?
Oppure una situazione del genere è nella natura delle cose e la dimostrazione proposta è semplicemente sbagliata (o, quanto meno, assume tacitamente l'ipotesi $lambda(]a,b[)=lambda([a,b])$)?
__________
* Contrapposta a quella "industriale" che viene fuori dall'applicazione del Teorema di rappresentazione di Riesz (dei funzionali lineari e continui su $C_c(RR^n)$) proposta, ad esempio, sul Rudin.
Risposte
Siccome la misura è positiva e additiva dovresti avere $lambda([a,b])=lambda(a)+lambda(b)+lambda(]a,b[)>=lambda(]a,b[)$ (perdonami se ho detto una castroneria!)
io ho visto la costruzione artigianale della misura di Lebesgue ed il teorema di regolarità me l'hanno dimostrato direttamente sulle misure di borel positive finite sui compatti. a pg 26 (contate dal pdf) più o meno di questi appunti trovi le dimostrazioni http://www.mat.uniroma2.it/~cannarsa/cam_0607.pdf
vedi un po' se la cosa ti convince
ciao
io ho visto la costruzione artigianale della misura di Lebesgue ed il teorema di regolarità me l'hanno dimostrato direttamente sulle misure di borel positive finite sui compatti. a pg 26 (contate dal pdf) più o meno di questi appunti trovi le dimostrazioni http://www.mat.uniroma2.it/~cannarsa/cam_0607.pdf
vedi un po' se la cosa ti convince
ciao
Beh, è evidente che se $I$ è un intervallo di $RR^n$, $"int"I$ il suo interno e $"clos"I$ la sua chiusura, allora la positività di $lambda$ garantisce che:
(*) $\quad lambda("int"I)<=lambda(I)<=lambda("clos"I) \quad$;
come dicevo, il problema è che in (*) potrebbero sussistere (almeno in linea di principio) le disuguaglianze strette, mentre ciò non capita per la misura elementare degli intervalli per definizione.
Ora provo a guardare un po' le dispense che mi hai linkato.
Grazie mille rubik.
(*) $\quad lambda("int"I)<=lambda(I)<=lambda("clos"I) \quad$;
come dicevo, il problema è che in (*) potrebbero sussistere (almeno in linea di principio) le disuguaglianze strette, mentre ciò non capita per la misura elementare degli intervalli per definizione.
Ora provo a guardare un po' le dispense che mi hai linkato.
Grazie mille rubik.
Forse rispondo un po' troppo in fretta, senza controllare le definizioni - ma mi diverte di piu' interagire ...
Perche' il fatto che i punti possano non avere misura zero ti disturba a proposito della regolarita' ? -
se rcordo bene la regolarita' interna vuol dire che la misura di un insieme e' il sup delle misure
dei compatti contenuti e la regolarita' esterna vuol dire che la misura di un insieme e' l'inf dell misure
degli aperti contenenti. Anche la $delta$ e' regolare e pure la misura di un intervallo a perto e quella di uno chiuso possono differire.
Se le definizioni sono queste mi pare che la dimostrazione che citi sia piuttosto naturale (e' la prima cosa a cui ho pensato
man mano che leggevo il tuo messaggio).
Perche' il fatto che i punti possano non avere misura zero ti disturba a proposito della regolarita' ? -
se rcordo bene la regolarita' interna vuol dire che la misura di un insieme e' il sup delle misure
dei compatti contenuti e la regolarita' esterna vuol dire che la misura di un insieme e' l'inf dell misure
degli aperti contenenti. Anche la $delta$ e' regolare e pure la misura di un intervallo a perto e quella di uno chiuso possono differire.
Se le definizioni sono queste mi pare che la dimostrazione che citi sia piuttosto naturale (e' la prima cosa a cui ho pensato
man mano che leggevo il tuo messaggio).
"Gugo82":
Beh, è evidente che se $I$ è un intervallo di $RR^n$, $"int"I$ il suo interno e $"clos"I$ la sua chiusura, allora la positività di $lambda$ garantisce che:
(*) $\quad lambda("int"I)<=lambda(I)<=lambda("clos"I) \quad$;
come dicevo, il problema è che in (*) potrebbero sussistere (almeno in linea di principio) le disuguaglianze strette, mentre ciò non capita per la misura elementare degli intervalli per definizione.
Ora provo a guardare un po' le dispense che mi hai linkato.
Grazie mille rubik.
non avevo capito, era troppo presto
però le dispense dovrebbero andare!
"ViciousGoblin":
Perche' il fatto che i punti possano non avere misura zero ti disturba a proposito della regolarità?
Mi disturba per via della proposizione che segue quella citata:
Se $lambda$ è una misura positiva di Borel su $RR^n$, finita sui compatti e invariante per traslazioni, allora essa è proporzionale alla misura di Lebesgue $m$, nel senso che esiste $c>0$ tale che $AAB\subseteq RR^n " borelliano", lambda(B)=c*m(B)$.
dato che, se ben ricordo, la misura di Lebesgue gode della proprietà $m("int"I)=m(I)=m("clos"I)$ per ogni intervallo $I$.
Possibile che l'uguaglianza in (*) non serva nella dimostrazione della regolarità di $lambda$... Ma allora essa discende dall'invarianza per traslazioni?
L'invarianza per translazioni e' quella che taglia via quasi tutte le misure (come peraltro hai gia' detto tu).
D'altra parte la $\delta$ e' internamente/esternamente regolare e $0=\delta(]0,1])\ne\delta([0,1])=1$
D'altra parte la $\delta$ e' internamente/esternamente regolare e $0=\delta(]0,1])\ne\delta([0,1])=1$
lo faccio in $RR$: supponi che ci sia un punto di misura $mu>0$ allora tutti i punti hanno misura $mu>0$ per l'invarianza per traslazioni, l'insieme ${0} uu {1/n}_(n in NN)$ è un compatto con misura infinita, funziona?
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