Una proprietà degli operatori compatti
Salve a tutti.
Ho un problema nella dimostrazione della seguente
Proposizione. Siano $X$,$Y$ spazi normati, e sia $T: X \to Y$ un operatore lineare compatto. Allora per ogni successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ debolmente convergente ad $x\in X$, la successione delle immagini $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ converge in norma a $Tx$ in $Y$.
Dimostrazione. Se $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ è debolmente convergente, allora è limitata in norma, dunque $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ è contenuta in un compatto $K$ di $Y$. Se per assurdo $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ non convergesse in norma a $Tx$, allora esisterebbe $\varepsilon \gt 0$ e una sottosuccessione $\{x_{\mu(k)}\}_{k\in \mathbb{N}} \subseteq \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $||Tx_{\mu(k)}-Tx||_Y \gt \varepsilon$ per ogni $k\in \mathbb{N}$. Dato che la sottosuccessione $\{Tx_{\mu(k)}\}_{k\in \mathbb{N}}$ è contenuta in $K$ compatto, essa ha una sottosuccessione $\{Tx_{\mu(\nu(k))}\}_{k\in \mathbb{N}}$ convergente in norma ad uno $z\in K$.
Passando al limite si ha $||z-Tx||_Y \geq \varepsilon$.
Si prenda un $\phi \in Y^\star$ tale che $\phi(Tx)=0$ e $\phi(z)=1$. Allora $\lim_{n\to \infty} \phi \circ T(x_n)=\phi(y)=0$, ma $\lim_{k\to \infty} \phi \circ T(x_{\mu(\nu(k))})=\phi(z)=1$, assurdo perché quest'ultima è una sottosuccessione della successione $\{\phi \circ T(x_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$.
Domanda: Come si vede che quel funzionale $\phi$ effettivamente esiste? Ho provato a pensare ad Hahn-Banach ma non mi è venuto in mente niente di sensato...
Grazie a tutti.
Ho un problema nella dimostrazione della seguente
Proposizione. Siano $X$,$Y$ spazi normati, e sia $T: X \to Y$ un operatore lineare compatto. Allora per ogni successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ debolmente convergente ad $x\in X$, la successione delle immagini $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ converge in norma a $Tx$ in $Y$.
Dimostrazione. Se $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ è debolmente convergente, allora è limitata in norma, dunque $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ è contenuta in un compatto $K$ di $Y$. Se per assurdo $\{Tx_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ non convergesse in norma a $Tx$, allora esisterebbe $\varepsilon \gt 0$ e una sottosuccessione $\{x_{\mu(k)}\}_{k\in \mathbb{N}} \subseteq \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $||Tx_{\mu(k)}-Tx||_Y \gt \varepsilon$ per ogni $k\in \mathbb{N}$. Dato che la sottosuccessione $\{Tx_{\mu(k)}\}_{k\in \mathbb{N}}$ è contenuta in $K$ compatto, essa ha una sottosuccessione $\{Tx_{\mu(\nu(k))}\}_{k\in \mathbb{N}}$ convergente in norma ad uno $z\in K$.
Passando al limite si ha $||z-Tx||_Y \geq \varepsilon$.
Si prenda un $\phi \in Y^\star$ tale che $\phi(Tx)=0$ e $\phi(z)=1$. Allora $\lim_{n\to \infty} \phi \circ T(x_n)=\phi(y)=0$, ma $\lim_{k\to \infty} \phi \circ T(x_{\mu(\nu(k))})=\phi(z)=1$, assurdo perché quest'ultima è una sottosuccessione della successione $\{\phi \circ T(x_n)\}_{n\in \mathbb{N}}$.
Domanda: Come si vede che quel funzionale $\phi$ effettivamente esiste? Ho provato a pensare ad Hahn-Banach ma non mi è venuto in mente niente di sensato...
Grazie a tutti.
Risposte
Mi pare che ci sia un problemuccio: chi ci dice che \(z\ne 0\)? Comunque, si risolve: un corollario del teorema di Hahn Banach è il cosiddetto teorema di separazione di Hahn-Banach: se \(y_1\ne y_2\) allora esiste \(\phi\in Y^{\star}\) tale che \(\phi(y_1)\ne \phi(y_2)\). In particolare puoi separare con una forma lineare continua \(Tx\) e \(z\), e questo direi che ti basta.
Giusto, lo conosco quel teorema ma non mi è venuto in mente, perché mi sono fatto fuorviare dalla scelta di $0$ e $1$ della dimostrazione, quando in effetti basta far vedere che sono separabili da un elemento del duale.
Toh, indovina un po' chi devo ringraziare ancora una volta... se mai passerò questo esame dovrò registrarlo sul tuo libretto, Dissonance.
Toh, indovina un po' chi devo ringraziare ancora una volta... se mai passerò questo esame dovrò registrarlo sul tuo libretto, Dissonance.
se mai passerò questo esame dovrò registrarlo sul tuo libretto:-)
Lascia stare, invece mettiti sotto che stai andando forte. Sei in gamba
Grazie dell'incoraggiamento Dissonance, mi serve parecchio.
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