Una proposizione abbastanza ovvia sugli intervalli
Salve a tutti, mi sono messo a fare un esercizio dove la verità dell'enunciato è apparentemente evidente ma ho trovato difficoltà nella dimostrazione. Alla fine penso di avere una dimostrazione corretta ma non mi convince del tutto.
La proposizione da dimostrare è:
Sia [a,b) contenuto in [a1,b1) U ... U [an,bn) con
-infinito < a <= b < infinito
-infinito < an <= bn < infinito
Provare che
$b - a <= \sum_{i=1}^n (b_i - a_i) $
Come vedete la verità dell'enunciato è alquanto ovvia.
Per dimostrarlo ho seguito questo ragionamento:
Ho gli intervalli [ai,bi)
Ne tolgo uno alla volta alla collezione, se [a,b) continua ad essere contenuto nell'unione degli intervalli rimanenti nella collezione lo rimuovo definitivamente, altrimenti lo reinserisco.
Continuo questo procedimento massimo n volte, un numero finito, finché la rimozione di qualsiasi intervallo dalla collezione comporterebbe il fatto che [a,b) non sia più contenuto nella loro unione.
A questo punto riordino gli indici [ai,bi) degli intervalli rimanenti di modo tale che $a_i <= a_{i+1}$
Ora rimango solo con intervalli incastrati uno nell'altro e li disgiungo mostrando che la loro unione è uguale a quella degli intervalli disgiunti [a1,a), [a,b1), [b1,b2) ...ecc a questo punto mostro che $b - a <= (a - a_1) + (b_1-a) + (b_2- b_1) .... + (b_{n} - b_{n-1})$ e a maggior ragione vale per $b - a <= (b_1 - a_1) + (b_2- a_2) .... + (b_{n} - a_{n})$ visto che $a_k <= b_{k-1}$ e a maggior ragione vale per la somma comprendente tutti gli intervalli rimossi all'inizio.
Scommetto che esiste un modo infinitamente più facile per dimostrarlo e non l'ho notato
Mi potreste far capire perché non mi convince..?
La proposizione da dimostrare è:
Sia [a,b) contenuto in [a1,b1) U ... U [an,bn) con
-infinito < a <= b < infinito
-infinito < an <= bn < infinito
Provare che
$b - a <= \sum_{i=1}^n (b_i - a_i) $
Come vedete la verità dell'enunciato è alquanto ovvia.
Per dimostrarlo ho seguito questo ragionamento:
Ho gli intervalli [ai,bi)
Ne tolgo uno alla volta alla collezione, se [a,b) continua ad essere contenuto nell'unione degli intervalli rimanenti nella collezione lo rimuovo definitivamente, altrimenti lo reinserisco.
Continuo questo procedimento massimo n volte, un numero finito, finché la rimozione di qualsiasi intervallo dalla collezione comporterebbe il fatto che [a,b) non sia più contenuto nella loro unione.
A questo punto riordino gli indici [ai,bi) degli intervalli rimanenti di modo tale che $a_i <= a_{i+1}$
Ora rimango solo con intervalli incastrati uno nell'altro e li disgiungo mostrando che la loro unione è uguale a quella degli intervalli disgiunti [a1,a), [a,b1), [b1,b2) ...ecc a questo punto mostro che $b - a <= (a - a_1) + (b_1-a) + (b_2- b_1) .... + (b_{n} - b_{n-1})$ e a maggior ragione vale per $b - a <= (b_1 - a_1) + (b_2- a_2) .... + (b_{n} - a_{n})$ visto che $a_k <= b_{k-1}$ e a maggior ragione vale per la somma comprendente tutti gli intervalli rimossi all'inizio.
Scommetto che esiste un modo infinitamente più facile per dimostrarlo e non l'ho notato
Mi potreste far capire perché non mi convince..?
Risposte
Io ragionerei diversamente. \( \displaystyle [a,b) \subset \bigcup_i^n [a_i , b_i ) \) e supponiamo che l'unione \( \displaystyle U = \bigcup_i^n [a_i , b_i ) \) sia connessa. $a \in U$ e $\text{sup}(U) = b_{j} >= b$. Allora $\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= mis(U) >= b_j - a >= b - a$.
Se l'unione non è connessa, basta considerare la componente connessa di $U$ in cui si trova $[a,b)$.
Se l'unione non è connessa, basta considerare la componente connessa di $U$ in cui si trova $[a,b)$.
Però tu parli della "Misura" di U, stai quindi tacitamente ammettendo che sia sigma-subadditiva e per questo scrivi
$\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= mis(U)$
L'esercizio non parla di misure.
Capisco che qui si va al limite della pedanteria, ma sul libro tra l'altro nel teorema successivo si utilizza il risultato di quest'esercizio per dimostrare che questa m( [a,b) )= b-a è sigma-subadditiva.
$\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= mis(U)$
L'esercizio non parla di misure.
Capisco che qui si va al limite della pedanteria, ma sul libro tra l'altro nel teorema successivo si utilizza il risultato di quest'esercizio per dimostrare che questa m( [a,b) )= b-a è sigma-subadditiva.
Va bene, allora considera che le componenti connesse di $U$ sono intervalli del tipo $U_i = [a_s , b_j)$ , con $r \ne s \in \{ 1, ... , n \}$.
Allora $\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= b_j - a_s >= b_j - a >= b - a$.
Allora $\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= b_j - a_s >= b_j - a >= b - a$.
$\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) >= b_j - a_s $ fin qui mi è chiaro, (anche se non ho ben capito quell' $r \ne s $ )
poi mi pare che dici che tra tutti i $b_j$ ne esiste per forza uno tale che $b_j - a_s >= b_j - a$ e ok.
ma poi quel $b_j$ l'hai scelto, come fai a essere sicuro che $b_j - a >= b-a$?
Scusa la cocciutaggine
poi mi pare che dici che tra tutti i $b_j$ ne esiste per forza uno tale che $b_j - a_s >= b_j - a$ e ok.
ma poi quel $b_j$ l'hai scelto, come fai a essere sicuro che $b_j - a >= b-a$?
Scusa la cocciutaggine
Non l'ho scelto. Supponendo sempre che $U$ sia connesso, $b_j$ è l'estremo superiore dell'intervallo $U$.
Se fosse $b_j < b$, $(b_j + b)/2 \in [a,b)$ ma $(b_j + b)/2 \notin U$, contro l'ipotesi.
Ti convince?
Se fosse $b_j < b$, $(b_j + b)/2 \in [a,b)$ ma $(b_j + b)/2 \notin U$, contro l'ipotesi.
Ti convince?
A me sembra che sia semplicemente necessario applicare ripetutamente i seguenti lemmi. Con questi crei una catena di \(\displaystyle \ge \) che concluderà in \(\displaystyle \max(b_i)-a_0 \ge b-a \) che va dimostrata a parte (anche se ovvia).
Lemma 1: Sia \(\displaystyle a,b,c,d \) quattro numeri reali tali che \(\displaystyle \max(a,c)\le \min(b,d) \), allora \(\displaystyle (b-a) + (d-c) \ge \max(d,b) - \min(a,c) \).
Lemma 2: Dati due intervalli \(\displaystyle [a,b), [c,d) \) allora la loro unione è connessa se e solo se \(\displaystyle \max(a,c)\le \min(b,d) \).
P.S: da notare che il concetto di misura è totalmente assente dalla mia impostazione.
P.S2: Ho riordinato gli intervalli e ho escluso eventualmente intervalli disgiunti da \(\displaystyle [a,b) \).
Lemma 1: Sia \(\displaystyle a,b,c,d \) quattro numeri reali tali che \(\displaystyle \max(a,c)\le \min(b,d) \), allora \(\displaystyle (b-a) + (d-c) \ge \max(d,b) - \min(a,c) \).
Lemma 2: Dati due intervalli \(\displaystyle [a,b), [c,d) \) allora la loro unione è connessa se e solo se \(\displaystyle \max(a,c)\le \min(b,d) \).
P.S: da notare che il concetto di misura è totalmente assente dalla mia impostazione.
P.S2: Ho riordinato gli intervalli e ho escluso eventualmente intervalli disgiunti da \(\displaystyle [a,b) \).
Non l'ho scelto. Supponendo sempre che \( \displaystyle {U} \) sia connesso, \( \displaystyle {b}_{{j}} \) è l'estremo superiore dell'intervallo \( \displaystyle {U} \).
Se fosse \( \displaystyle {b}_{{j}}\lt{b} \), \( \displaystyle \frac{{{b}_{{j}}+{b}}}{{2}}\in{\left[{a},{b}\right)} \) ma \( \displaystyle \frac{{{b}_{{j}}+{b}}}{{2}}\notin{U} \), contro l'ipotesi.
Ti convince?
il mio dubbio adesso è questo:
$\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) = (b_1 - a_1) + (b_2 - a_2) + ... + (b_j - a_j) + ... + (b_s - a_s) + ... + (b_n - a_n) >= b_j - a_s $
non è come dire questo? $\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) = (b_1 - a_1) + (b_2 - a_2) + ... - a_j + ... + b_s + ... + (b_n - a_n) >= 0 $
Come fai a essere sicuro che $a_j - b_s$ sia minore del resto?
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